問題
1辺の長さが1の正四面体を考え，，，とする．動点はからへ辺上を秒速1で，動点はからへ辺上を秒速で，動点はからへ辺上を秒速1で，動点はからへ辺上を秒速で，同時に動き出す．
(1) 動き出してから秒後のベクトル，，，を，，およびを用いて表せ．
(2) 線分と線分が交点をもつときの の値を求め，ベクトルを，，を用いて表せ．
出典：名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
(1)は各点がどの辺上をどれだけ進んだかを，端点の位置ベクトルの内分で表す。(2)では交点 が線分 上にも線分 上にもあるとして， を2通りに表す。 は同一平面上にない3方向なので係数比較ができる。内分係数を と置き，3つの係数方程式を解いて を決める。正四面体の角度や長さは，この交点判定では使わない。
解答
(1)
とする。点 は から へ秒速1で進むので である。
点 は から へ秒速 で進む。辺 の長さは1なので，時刻 では から だけ進んでいる。したがって
である。
同様に，点 は から へ秒速1で進むので である。また点 は から へ秒速 で進むので である。
(2)
線分 と線分 が交点 をもつとする。 が 上にあることから，ある実数 を用いて
と書ける。また が 上にあることから，ある実数 を用いて
と書ける。線分上の点であるためには ， である。
(1)の式を代入すると， 側からは
である。一方， 側からは
である。 は一次独立なので，係数を比較して
を得る。
この連立方程式を解く。第2式と第3式から である。これらを第1式に代入して整理すると である。さらに も用いて を消去すると となる。したがって である。このとき第2式，第3式から となり，どちらも を満たすので，実際に線分上で交わる。
よって
である。