名古屋大学 2005年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) 複素数 $z$ を未知数とする方程式 $z^{5} + 2 z^{4} + 4 z^{3} + 8 z^{2} + 16 z + 32 = 0$ の解をすべて求めよ．

(2) (1)で求めた解 $z = p + q i$ ( $p$ ， $q$ は実数)のうち次の条件をみたすものをすべて求めよ．
条件： $x$ を未知数とする3次方程式 $x^{3} + 3 q x + q^{2} - p = 0$ が，整数の解を少なくとも1つもつ．

出典：名古屋大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)の多項式は初項 $z^{5}$ ，公比 $2/ z$ と見るより， $(z - 2) (z^{5} + 2 z^{4} + 4 z^{3} + 8 z^{2} + 16 z + 32) = z^{6} - 64$ と確認するのが早い。したがって $z^{6} = 64$ の6解から $z = 2$ を除いた5個が解である。(2)は文系第3問と同じ判定で，各解を $z = p + q i$ として3次方程式へ代入し，整数解候補を定数項の約数に限って調べる。

解答

(1)

与えられた多項式を $P (z)$ とおく。直接掛けると

(z - 2) P (z) = (z - 2) (z^{5} + 2 z^{4} + 4 z^{3} + 8 z^{2} + 16 z + 32) = z^{6} - 64

である。なお $z = 2$ を $P (z)$ に代入すると $2^{5} + 2 \cdot 2^{4} + 4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 + 32 = 160 \neq = 0$ なので， $z = 2$ はもとの方程式の解ではない。

したがって $P (z) = 0$ の解は， $z^{6} = 64 = 2^{6}$ の解のうち $z = 2$ を除いたものである。 $z^{6} = 64$ の解は

2 (cos \frac{k π}{3} + i sin \frac{k π}{3}) (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5)

であるから，求める解は

1 + 3 i, - 1 + 3 i, - 2, - 1 - 3 i, 1 - 3 i

である。

(2)

(1)の各解を $z = p + q i$ として調べる。 $z = - 2$ のときは $p = - 2, q = 0$ なので $x^{3} + 2 = 0$ となり，整数解はない。 $q = 3$ の場合， $p = 1$ では $x^{3} + 3 x + 2 = 0$ である。整数解があるなら $x = \pm 1, \pm 2$ を調べればよいが，いずれも解ではない。 $p = - 1$ では $x^{3} + 3 x + 4 = 0$ であり， $(- 1)^{3} + 3 (- 1) + 4 = 0$ だから整数解 $x = - 1$ をもつ。 $q = - 3$ の場合， $p = 1$ では $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ であり， $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2 = 0$ だから整数解 $x = 1$ をもつ。 $p = - 1$ では $x^{3} - 3 x + 4 = 0$ であり，整数解があるなら $x = \pm 1, \pm 2, \pm 4$ を調べればよいが，いずれも解ではない。

以上より，条件を満たす解は $- 1 + 3 i, 1 - 3 i$ である。

名古屋大学 2005年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2005年度
理系数学第2問