名古屋大学 2005年度理系数学第1問解答・解説

問題

放物線 $R : y = - x^{2} + 3$ と直線 $l : y = 2 x$ との交点を $A$ ， $B$ とする．直線 $y = 2 x + t$ $(t > 0)$ は放物線 $R$ と相異なる2点 $C (t)$ ， $D (t)$ で交わるものとする．

(1) 放物線 $R$ と直線 $l$ とで囲まれた図形の面積 $T$ を求めよ．

(2) 4つの点 $A, B, C (t), D (t)$ を頂点とする台形の面積を $S (t)$ とし， $f (t) = \frac{S ( t )}{T}$ とおく． $f (t)$ の最大値を求めよ．

出典：名古屋大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

文系第1問と同じ型で，交点の $x$ 座標の差，平行線間の距離，平行線が放物線から切り取る弦の長さを順に求める。傾きが2なので，弦の実長には $5$ ，2直線 $y = 2 x$ ， $y = 2 x + t$ の距離には $1/ 5$ が出るが，台形面積では相殺される。直線 $y = 2 x + t$ との交点の $x$ 座標差を $d = 16 - 4 t$ と置き， $S (t) = t (4 + d) /2$ を $d$ の関数に直して最大化する。

解答

(1)

直線 $l : y = 2 x$ と放物線 $R : y = - x^{2} + 3$ の交点の $x$ 座標は $- x^{2} + 3 = 2 x$ すなわち $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ の解である。したがって $x = - 3, x = 1$ である。この区間では放物線が直線の上にあるので

T = \int_{- 3}^{1} {(- x^{2} + 3) - 2 x} d x = \int_{- 3}^{1} (- x^{2} - 2 x + 3) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 3 x]_{- 3}^{1} = \frac{32}{3}

である。

(2)

直線 $y = 2 x + t$ と放物線 $R$ の交点の $x$ 座標は $- x^{2} + 3 = 2 x + t$ すなわち $x^{2} + 2 x + (t - 3) = 0$ の2解である。相異なる2点で交わる条件は $16 - 4 t > 0$ だから $0 < t < 4$ である。

この2解の差を $d$ とおくと $d = 16 - 4 t$ である。直線の傾きが2なので， $x$ 座標の差が $d$ のとき，弦 $C D$ の長さは $C D = 5 d$ である。また $A B$ の $x$ 座標の差は $1 - (- 3) = 4$ だから $A B = 45$ である。2直線 $y = 2 x$ と $y = 2 x + t$ の距離は $\frac{t}{5}$ である。

したがって台形の面積は

S (t) = \frac{1}{2} (A B + C D) \cdot \frac{t}{5} = \frac{1}{2} (45 + 5 d) \cdot \frac{t}{5} = \frac{t}{2} (4 + d)

である。

ここで $d = 16 - 4 t$ より $t = \frac{16 - d ^{2}}{4}$ であり， $0 < t < 4$ は $0 < d < 4$ に対応する。よって $S (t) = \frac{16 - d ^{2}}{8} (4 + d) = \frac{( 4 - d ) ( 4 + d ) ^{2}}{8}$ である。これを $d$ で微分すると

\frac{d S}{dd} = \frac{1}{8} {- (4 + d)^{2} + 2 (4 - d) (4 + d)} = \frac{1}{8} (4 + d) (4 - 3 d)

である。 $0 < d < 4$ では $4 + d > 0$ なので，最大となるのは $d = \frac{4}{3}$ のときである。このとき

S_{m a x} = \frac{1}{8} (4 - \frac{4}{3}) (4 + \frac{4}{3})^{2} = \frac{512}{27}

である。したがって $f (t)_{m a x} = \frac{S _{m a x}}{T} = \frac{512/27}{32/3} = \frac{16}{9}$ である。

名古屋大学 2005年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2005年度
理系数学第1問