名古屋大学 2005年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

整数に値をとる変数 $x$ の値が，以下の規則で変化する．

(i) ある時刻で $x = m$ $(m \neq = 0)$ のとき，1秒後に $x = m + 1$ ， $x = m - 1$ である確率はともに $\frac{1}{2}$ である．

(ii) ある時刻で $x = 0$ のとき，1秒後に $x = 1$ である確率は $q$ ， $x = - 1$ である確率は $1 - q$ である $(0 ≦ q ≦ 1)$ ．

$x = 0$ から始めて， $n$ 秒後 $(n = 0, 1, 2, \dots)$ に $x = m$ である確率を $p_{n} (m)$ とする．

(1) $p_{3} (1) + p_{3} (- 1)$ を求めよ．

(2) すべての自然数 $n$ に対し次がなりたつことを示せ：どんな整数 $m$ についても $p_{n} (m) + p_{n} (- m)$ は $q$ にはよらない．

(3) $p_{n} (0)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

原点から出るときだけ確率が $q$ と $1 - q$ に偏るが， $m$ と $- m$ の確率を足すとこの偏りは消える。(1)は3秒後までを直接追って確認する。(2)は $p_{n} (m) + p_{n} (- m)$ が $q$ によらないことを時刻に関する帰納法で示す。特に $m = 1$ では原点からの遷移が現れるが， $q + (1 - q) = 1$ になる。(3)は(2)により $p_{n} (0)$ も $q$ によらないので，計算しやすい $q = 1/2$ の通常の対称移動として数える。

解答

(1)

0秒後は $x = 0$ である。1秒後は $p_{1} (1) = q, p_{1} (- 1) = 1 - q$ である。

2秒後に $x = 0$ へ来る確率は， $1$ から左へ動く場合と $- 1$ から右へ動く場合を合わせて $p_{2} (0) = \frac{1}{2} q + \frac{1}{2} (1 - q) = \frac{1}{2}$ である。また $p_{2} (2) = \frac{1}{2} q, p_{2} (- 2) = \frac{1}{2} (1 - q)$ である。

3秒後に $x = 1$ へ来るのは，0から1へ出る場合と2から1へ戻る場合である。したがって $p_{3} (1) = q \cdot p_{2} (0) + \frac{1}{2} p_{2} (2) = \frac{q}{2} + \frac{q}{4} = \frac{3 q}{4}$ である。同様に $p_{3} (- 1) = (1 - q) p_{2} (0) + \frac{1}{2} p_{2} (- 2) = \frac{3 ( 1 - q )}{4}$ である。よって $p_{3} (1) + p_{3} (- 1) = \frac{3 q}{4} + \frac{3 ( 1 - q )}{4} = \frac{3}{4}$ である。

(2)

$r_{n} (m) = p_{n} (m) + p_{n} (- m)$ とおく。 $m = 0$ のときは $r_{n} (0) = 2 p_{n} (0)$ である。 $n = 0$ では $p_{0} (0) = 1, p_{0} (m) = 0 (m \neq = 0)$ なので，すべての $r_{0} (m)$ は $q$ によらない。

ある $n$ で，すべての整数 $m$ について $r_{n} (m)$ が $q$ によらないと仮定する。まず $m ≧ 2$ では， $m$ と $- m$ はどちらも原点ではないので

r_{n + 1} (m) = p_{n + 1} (m) + p_{n + 1} (- m) = \frac{1}{2} p_{n} (m - 1) + \frac{1}{2} p_{n} (m + 1) + \frac{1}{2} p_{n} (- m + 1) + \frac{1}{2} p_{n} (- m - 1) = \frac{1}{2} r_{n} (m - 1) + \frac{1}{2} r_{n} (m + 1)

である。右辺は仮定により $q$ によらない。

次に $m = 1$ では，原点から出る遷移が関係する。計算すると

r_{n + 1} (1) = p_{n + 1} (1) + p_{n + 1} (- 1) = {q p_{n} (0) + \frac{1}{2} p_{n} (2)} + {(1 - q) p_{n} (0) + \frac{1}{2} p_{n} (- 2)} = p_{n} (0) + \frac{1}{2} r_{n} (2)

である。ここで $p_{n} (0) = r_{n} (0) /2$ なので，右辺は $q$ によらない。

最後に $m = 0$ では $p_{n + 1} (0) = \frac{1}{2} p_{n} (1) + \frac{1}{2} p_{n} (- 1) = \frac{1}{2} r_{n} (1)$ であるから，これも $q$ によらない。以上より，帰納法によってすべての自然数 $n$ で $p_{n} (m) + p_{n} (- m)$ は $q$ によらない。

(3)

(2)より $p_{n} (0)$ は $q$ によらない。したがって，計算しやすい $q = 1/2$ の場合を考えればよい。このとき，各秒で右または左へ進む確率はいずれも $1/2$ である通常の対称な移動と同じである。 $n$ が奇数のとき，右へ進んだ回数と左へ進んだ回数の合計が奇数なので，両者が等しくなることはない。したがって $p_{n} (0) = 0 (n が奇数)$ である。 $n = 2 r$ のとき，0にいるためには， $2 r$ 回のうち右へ進む回数と左へ進む回数がともに $r$ 回であればよい。そのような並びは $_{2 r} C_{r}$ 通りあり，各並びの確率は $(1/2)^{2 r}$ である。よって $p_{2 r} (0) = \frac{_{2 r} C _{r}}{2 ^{2 r}}$ である。

以上より

p_{n} (0) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{_{2 r} C _{r}}{2 ^{2 r}} (n が奇数), (n = 2 r)

である。

名古屋大学 2005年度理系数学 第4問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2005年度
理系数学第4問(a)