問題
各点で微分可能な関数のグラフが右の図で与えられている．このとき，とのグラフの概形を解答欄の所定の位置に描け．また，そのようなグラフを描いたポイントを列挙して説明せよ．
% 図は省略
出典：名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
図から読み取れる の増減、極値、零点、水平な部分をまず列挙する。 は元のグラフの傾きを表すので、 が水平な区間や極値をもつ点で0になり、増加区間で正、減少区間で負になる。 とおくと , , であるから、 の正負で の増減、 の正負で凹凸を決める。
解答
以下、図から読み取れる特徴をもとに説明する。与えられた のグラフは、図示範囲でおおよそ次の性質をもつ。
であり、零点は である。また で極小、 で極大となる。
まず の概形を考える。導関数は元のグラフの傾きを表す。したがって、 が一定である では である。また が極小・極大をとる でも である。
符号は、 が減少する区間で負、増加する区間で正である。図より となる。したがって、 は、上の区間で符号を合わせ、 および水平部分で 軸に接するように滑らかに描く。
次に とおく。このとき である。
したがって、 の増減は の正負で決まる。図より となる範囲では は増加し、 となる範囲では は減少する。零点が であることから、概形としては で増加し、 で減少する。したがって は で極大、 で極小となる。
さらに凹凸は で決まる。すなわち、 の区間では は下に凸、 の区間では は上に凸となる。左端付近 では なので は傾き1の直線状、右端付近 では なので は傾き の直線状になる。
以上の点を反映して、 と の概形を描けばよい。