名古屋大学 2003年度理系数学第1問解答・解説

問題

2次方程式 $x^{2} - p x - q = 0$ は実数解 $α$ ， $β$ を持つものとする．座標平面上の点列 ${P_{n} (a_{n}, b_{n})}$ $(n = 0, 1, 2, \dots)$ を次のように定める．

(a_{0}, b_{0}) = (0, 0), (a_{n} b_{n}) = (q pq p p^{2} + q) (a_{n - 1} b_{n - 1}) + (1 α) (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) $P_{2}$ ， $P_{3}$ の座標を $α$ のみを用いて表せ．

(2) $P_{n}$ の座標を $α$ のみを用いて表せ．

(3) $n \to \infty$ のとき， $P_{n} (a_{n}, b_{n})$ がある点 $P (a, b)$ に収束するための必要十分条件を $α$ に関する条件として与え，その点 $P (a, b)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$α$ が方程式 $x^{2} - p x - q = 0$ の解であることから、 $α^{2} = p α + q$ を使う。列ベクトル $(1, α)$ に行列を掛けると $α^{2} (1, α)$ になることを直接計算で示せば、毎回足されるベクトルが同じ方向のまま $1, α^{2}, α^{4}, \dots$ 倍されていく。したがって $P_{n}$ は等比数列の和で表される。収束条件は $1 + α^{2} + \dots + α^{2 n - 2}$ が収束する条件、すなわち $∣ α ∣ < 1$ である。

解答

(1)

$α$ は方程式 $x^{2} - p x - q = 0$ の解なので $α^{2} = p α + q$ である。ここで

u = (1 α), M = (q pq p p^{2} + q)

とおく。すると

M u = (q + p α pq + (p^{2} + q) α)

である。第1成分は $q + p α = α^{2}$ であり、第2成分は

pq + p^{2} α + q α = p (q + p α) + q α = p α^{2} + q α = α (p α + q) = α^{3}

である。したがって

M u = (α^{2} α^{3}) = α^{2} u

である。 $P_{1}$ の位置ベクトルは $u$ であるから、

(a_{2} b_{2}) = M u + u = (1 + α^{2}) u

である。よって $P_{2} = (1 + α^{2}, α + α^{3})$ である。さらに

(a_{3} b_{3}) = M {(1 + α^{2}) u} + u = (1 + α^{2}) α^{2} u + u = (1 + α^{2} + α^{4}) u

だから $P_{3} = (1 + α^{2} + α^{4}, α + α^{3} + α^{5})$ である。

(2)

(1)の計算より、 $M^{j} u = α^{2 j} u$ が成り立つ。点 $P_{n}$ の位置ベクトルを $v_{n}$ とすると、漸化式は $v_{n} = M v_{n - 1} + u, v_{0} = 0$ である。したがって $v_{n} = u + M u + M^{2} u + \dots + M^{n - 1} u$ であり、 $v_{n} = (1 + α^{2} + α^{4} + \dots + α^{2 n - 2}) u$ である。

よって

P_{n} = (s_{n}, α s_{n}), s_{n} = 1 + α^{2} + α^{4} + \dots + α^{2 n - 2}

である。 $α^{2} \neq = 1$ のときは $s_{n} = \frac{1 - α ^{2 n}}{1 - α ^{2}}$ とも書ける。

(3)

$P_{n} = (s_{n}, α s_{n})$ なので、 $P_{n}$ が収束するためには $s_{n}$ が収束することが必要十分である。ここで $s_{n}$ は公比 $α^{2}$ の等比数列の部分和である。 $∣ α ∣ < 1$ のとき、 $α^{2 n} \to 0$ だから $s_{n} \to \frac{1}{1 - α ^{2}}$ であり、 $P_{n}$ は収束する。

一方、 $∣ α ∣ ≧ 1$ のときは $α^{2} ≧ 1$ である。 $α^{2} = 1$ なら $s_{n} = n$ となって発散し、 $α^{2} > 1$ なら項が大きくなって部分和も発散する。したがって収束しない。

よって収束の必要十分条件は $∣ α ∣ < 1$ であり、このとき収束先は $P (\frac{1}{1 - α ^{2}}, \frac{α}{1 - α ^{2}})$ である。

名古屋大学 2003年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2003年度
理系数学第1問