名古屋大学 2003年度理系数学第3問解答・解説

問題

サイコロを $n$ 回投げて，3の倍数が $k$ 回出る確率を $P_{n} (k)$ とする．各 $n$ について， $P_{n} (k)$ を最大にする $k$ を $N (n)$ とする．ただし，このような $k$ が複数あるときは，最も大きいものを $N (n)$ とする．

(1) $\frac{P _{n} ( k + 1 )}{P _{n} ( k )}$ を求めよ．

(2) $n ≧ 2$ のとき， $\frac{N ( n )}{n}$ を最小にする $n$ と，そのときの $\frac{N ( n )}{n}$ の値を求めよ．

(3) $n \to \infty lim \frac{N ( n )}{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

3の倍数が出る確率は $2/6 = 1/3$ なので、 $P_{n} (k)$ は二項型の確率である。隣接比 $P_{n} (k + 1) / P_{n} (k)$ を求めると、 $P_{n} (k)$ がどこまで増加し、どこから減少するかが分かる。最大にする $k$ は、同じ最大値が2つある場合は大きい方を選ぶので、 $n = 3 m - 1, 3 m, 3 m + 1$ に分けて $N (n)$ を決める。その表示から $N (n) / n$ の最小値と極限を読む。

解答

(1)

さいころの目のうち3の倍数は $3, 6$ の2つである。したがって1回で3の倍数が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。よって

P_{n} (k) =_{n} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{n - k}

である。したがって

\frac{P _{n} ( k + 1 )}{P _{n} ( k )} = \frac{_{n} C _{k + 1}}{_{n} C _{k}} \cdot \frac{1/3}{2/3}

$= \frac{n - k}{k + 1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n - k}{2 ( k + 1 )}$ である。

(2)

(1)より $P_{n} (k + 1) ≧ P_{n} (k)$ となる条件は $\frac{n - k}{2 ( k + 1 )} ≧ 1$ すなわち $n - k ≧ 2 k + 2$ である。これは $3 k ≦ n - 2$ と同値である。

したがって、 $P_{n} (k)$ はこの条件を満たす間は増加し、満たさなくなると減少する。最大値が2つ並ぶ場合は大きい方の $k$ を選ぶことに注意して、 $n$ を3で割った余りで分ける。 $n = 3 m - 1$ のとき、 $k = m - 1$ で $\frac{P _{n} ( m )}{P _{n} ( m - 1 )} = 1$ となるので、 $k = m - 1, m$ が同じ最大値をとる。大きい方を選ぶから $N (n) = m$ である。 $n = 3 m$ のときは $k = m - 1$ から $k = m$ へは増加し、その次から減少するので $N (n) = m$ である。 $n = 3 m + 1$ のときも最大は $N (n) = m$ である。よって

⎩ ⎨ ⎧ N (3 m - 1) = m, N (3 m) = m, N (3 m + 1) = m

である。

これより

\frac{N ( 3 m - 1 )}{3 m - 1} = \frac{m}{3 m - 1}, \frac{N ( 3 m )}{3 m} = \frac{1}{3}, \frac{N ( 3 m + 1 )}{3 m + 1} = \frac{m}{3 m + 1}

である。最も小さくなりうるのは第3の場合で、 $\frac{m}{3 m + 1}$ は $m ≧ 1$ で増加する。したがって最小は $m = 1$ 、すなわち $n = 4$ のときであり、その値は $\frac{1}{4}$ である。

(3)

(2)の表示から、どの場合も $N (n)$ はほぼ $n /3$ であり、差は高々1程度である。実際、 $\frac{m}{3 m - 1}, \frac{1}{3}, \frac{m}{3 m + 1}$ はいずれも $m \to \infty$ で $1/3$ に近づく。したがって $n \to \infty lim \frac{N ( n )}{n} = \frac{1}{3}$ である。

名古屋大学 2003年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2003年度
理系数学第3問