名古屋大学 2003年度理系数学第2問解答・解説

問題

$O$ を原点とする座標平面上の，半径1の円周 $A : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $l : y = d$ $(0 < d < 1)$ との交点を $P$ ， $Q$ とする．円周 $A$ 上の点 $R (x, y)$ は $y > d$ の範囲を動く．線分 $O R$ と線分 $P Q$ の交点を $S$ ，点 $R$ から線分 $P Q$ へ下ろした垂線の足を $T$ とするとき，線分 $S T$ の長さの最大値を $d$ を用いて表せ．

出典：名古屋大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

点 $R (x, y)$ を円周上に置き、 $d < y ≦ 1$ として1変数化する。直線 $O R$ は原点と $(x, y)$ を結ぶので、水平線 $y = d$ との交点 $S$ は $(d x / y, d)$ である。一方、垂線の足 $T$ は $(x, d)$ なので、 $S T = ∣ x ∣ (1 - d / y)$ となる。 $x^{2} = 1 - y^{2}$ を使って $S T^{2}$ を $y$ の関数にし、微分して $y^{3} = d$ で最大になることを示す。

解答

点 $R$ を $R = (x, y)$ とおく。 $R$ は円周 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上で $y > d$ にあるから $d < y ≦ 1, x^{2} = 1 - y^{2}$ である。

直線 $O R$ 上の点は $λ R = (λ x, λ y)$ と表せる。これが直線 $y = d$ 上にあるとき $λ y = d$ であるから $λ = \frac{d}{y}$ である。したがって $S = (\frac{d x}{y}, d)$ である。また、点 $R$ から水平線 $y = d$ へ下ろした垂線の足は $T = (x, d)$ である。

よって $S T = x - \frac{d x}{y} = ∣ x ∣ (1 - \frac{d}{y})$ である。 $y > d > 0$ なので括弧内は正である。したがって $S T^{2} = (1 - y^{2}) (1 - \frac{d}{y})^{2}$ である。 $F (y) = (1 - y^{2}) (1 - \frac{d}{y})^{2} (d < y ≦ 1)$ とおく。整理して微分すると $F^{'} (y) = - \frac{2 ( y - d ) ( y ^{3} - d )}{y ^{3}}$ である。区間 $d < y ≦ 1$ では $y - d > 0$ , $y^{3} > 0$ である。したがって $F^{'} (y)$ の符号は $- (y^{3} - d)$ の符号で決まる。 $0 < d < 1$ なので $d < 3 d < 1$ である。よって $F (y)$ は $d < y < 3 d$ で増加し、 $3 d < y < 1$ で減少する。したがって最大は $y = 3 d$ のときに生じる。

このとき

S T = 1 - d^{2/3} (1 - \frac{d}{d ^{1/3}}) = 1 - d^{2/3} (1 - d^{2/3})

である。ゆえに最大値は $(1 - d^{2/3})^{3/2}$ である。

名古屋大学 2003年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 2003年度
理系数学第2問