問題
(1) 平行四辺形において，，，，とする．このとき，が成り立つことを証明せよ．
(2) 3つの正数，， がを満たすとき，各面の三角形の辺の長さを，，とする四面体が作れることを証明せよ．
出典：名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
(1)は , とおき、対角線が , で表されることから、2乗を足して内積の項を消す。(2)は4点を の対称な形に配置して、辺の長さが3種類 になるように を決める。条件 は を保証する。
解答
(1)
とおく。このとき である。また、対角線は である。
したがって である。右辺を内積で展開すると であり、 である。足し合わせると内積の項が消えて である。よって が成り立つ。
(2)
次の4点を空間内にとる。
ただし
とする。
条件 と より、 である。また も明らかなので、 は正に選べる。
この4点の距離を調べる。例えば であり、 だから である。同様に である。対称性により他の辺もそれぞれ のいずれかになり、各面の三角形は辺の長さ をもつ。
したがって、各面の三角形の辺の長さが である四面体を実際に作ることができる。