問題
関係式を満たす1とは異なる3つの正の実数の組が，少なくとも1組存在するような，正の整数の組をすべて求めよ．ただし，とする．
出典：名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
正の実数の指数関係なので、対数を取って線形条件に直す。, , , 共通の対数値を とすると、 である。 だから で、必要十分条件は になる。あとは を使って整数解を列挙する。
解答
, , とおく。また、共通の値 の対数を とおく。すると であり、さらに である。
もし なら、 である。 は正の整数だから となり、 となる。これは条件に反する。したがって である。 より である。これを に代入すると、 だから を得る。
逆に、正の整数 が を満たすとする。任意の を取り、 とおけば、 は正で、しかも1ではない。また であり、 だから、条件を満たす。よって求める問題は の正の整数解を求めることに帰着する。 なら左辺は1より大きくなるので不可能である。また なら となり不可能である。したがって である。 のとき、 である。両辺に を掛けると すなわち である。 より であり、 を得る。 のとき、 である。 であるから、 なら となる。 なら なので となり不可能である。よって では のみである。
以上より である。