名古屋大学 2002年度
理系数学 第1問

解答

(1) $x>0$ とする。対数を積分で表すと $\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=\log (x+1)-\log x={\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}$ である。

区間 $[x,x+1]$ では $\frac{1}{t}\ge \frac{1}{x+1}$ であり、しかも全区間で等号が成り立つわけではない。したがって ${\int }_x^{x+1}\frac{dt}{t}>{\int }_x^{x+1}\frac{dt}{x+1}=\frac{1}{x+1}$ である。よって $\boxed{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{x+1}}$ である。

(2) 比較する2つの数を

とおく。正の数の大小は対数の大小で比較できる。 $h(u)=u\log \left(1+\frac{1}{u}\right)(u>0)$ とおくと、$h^{\prime }(u)=\log \left(1+\frac{1}{u}\right)-\frac{1}{u+1}$ である。(1) を $x=u$ に適用すると $h^{\prime }(u)>0$ だから、$h(u)$ は $u>0$ で増加する。

ここで

であり、

である。さらに $\frac{2002}{2001}>\frac{2001}{2002}$ なので、$h$ の増加性より $\log A>\log B$ である。したがって

である。

別解。(1) は微分によっても示せる。$F(x)=\log (1+x)-\frac{x}{1+x}$ とおくと、$F(0)=0$ かつ $F^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}>0$ である。よって $x>0$ で $\log (1+x)>\frac{x}{1+x}$ が成り立つ。ここに $x=1/u$ を代入すれば $\log \left(1+\frac{1}{u}\right)>\frac{1}{u+1}$ となり、同じく $h^{\prime }(u)>0$ が従う。