問題
，を正数とし，平面で不等式の表す領域と，不等式の表す領域を考える．
(1) ，の場合に，領域を図示せよ．
(2) がに含まれるための，の条件を求め，平面上でその条件の表す領域を図示せよ．
出典：名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1) は楕円の中心と半径を読み取って図示する。(2) では楕円 の点を , , とパラメータ表示する。単位円 に含まれるためには がすべての で成り立てばよい。固定した では が最大となる境界 を調べれば十分で、そこで得られる式を一次式の端点評価に帰着する。
解答
(1) , のとき、領域 は で表される。したがって中心は であり、横方向の半径は2、縦方向の半径は1である。左右の端点は で、上下の端点は である。この楕円の内部を図示すればよい。
(2) の点は と表せる。固定した に対して は が大きいほど大きくなるので、 の判定には境界 を調べればよい。
このとき である。これを整理すると となる。 では であるから、すべての で となるためには が で0以上であればよい。 は一次関数なので、端点を調べれば十分である。 である。 は正数だから、条件は である。
したがって求める条件は である。 平面では、 軸方向に の範囲を取り、その上で曲線 の下側、ただし の部分である。