問題
を実数全体で定義された連続関数で，でを満たすものとする．とし，順に，により数列を定める．
(1) に対し，であり，かつとなることを示せ．
(2) となるが存在することを背理法を用いて示せ．
出典：名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
(1) は帰納法で示す。 なら、区間 で なので、積分値は正で、しかも区間の長さ より小さい。(2) は問題の指示通り背理法を用いる。もし となる項が存在しなければ、単調減少列 は 以上に下から押さえられる。極限を とおき、連続性により漸化式の極限を取ると となるが、 から右辺は より小さく矛盾する。
解答
(1) まず である。
ある について と仮定する。このとき、 では であるから、 である。すなわち である。
よって帰納法により、すべての について が成り立つ。
(2) 背理法で示す。 となる が存在しないと仮定する。すると、すべての について である。
(1) より は単調減少であり、しかも下に有界であるから、ある実数 に収束する。この仮定のもとでは である。
ここで とおく。 は連続関数なので、 も連続である。漸化式 の両辺で とすると を得る。
しかし であり、 では だから である。これは に矛盾する。
したがって仮定は誤りであり、 である。