名古屋大学 2001年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1)

駒は $-1$ または $3$ に着くとそこにとどまる。点1にいるためには、まだ吸収されておらず、$0,1,2$ の間を動いている必要がある。

まず、原点0から出発するので、偶数回後には点0または点2、あるいは吸収点にあり、点1にいることはない。したがって $P(X_k=1)=0(k\text{ が偶数})$ である。

奇数回後を考える。$k=2r+1$ とおく。1回後に点1にいる確率は $\frac{1}{2}$ である。点1にいる状態から2回硬貨を投げた後、再び点1にいるためには $1\to 0\to 1$ または $1\to 2\to 1$ となればよい。それぞれの確率は $1/4$ なので、2回後に再び点1へ戻る確率は $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ である。

したがって、点1にいる奇数時刻ごとに確率は $1/2$ 倍される。よって $P(X_{2r+1}=1)=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^r=\frac{1}{2^{r+1}}$ である。

以上より

である。

(2)

各位置で、次の1回後の位置の平均を調べる。吸収点 $-1,3$ では次も同じ点にとどまるので、平均は現在位置に等しい。

また、一時的な状態については $0\to -1,1$ がそれぞれ確率 $1/2$ で起こるので、次の位置の平均は $\frac{-1+1}{2}=0$ である。

同様に、点1では次に0または2へ進むので平均は $\frac{0+2}{2}=1$ であり、点2では次に1または3へ進むので平均は $\frac{1+3}{2}=2$ である。

つまり、どの状態にいても「次の位置の平均」は現在位置そのものに等しい。したがって $E[X_{k+1}]=E[X_k]$ である。初めは $X_0=0$ なので $\boxed{E[X_k]=0(k=0,1,2,\dots )}$ である。

別解。(2)は確率分布を直接追ってもよい。$-1,0,1,2,3$ の各点の確率を用いて期待値を作り、1回の遷移での増減を足すと、一時状態 $0,1,2$ では $+1$ と $-1$ の寄与が平均で打ち消し、吸収点では増減が0であるため、期待値は保存される。