問題
を3以上の自然数とする．有限複素数列の各項はいずれも方程式の解の一つであり，かつ，関係式を満たしているとする．
(1) の中にが含まれ，が含まれていないとすれば，，はいずれもの中に含まれることを示せ．
(2) のとき，(1)のような複素数列のとり方の個数を求めよ．
方針
6乗根を6種類に分け、それぞれの出現回数を文字で置く。 は含まれないのでその個数を0とし、実部と虚部の和がともに0である条件を立てる。(1)は、もし または が含まれないと仮定すると、実部・虚部の条件から の個数が0になり矛盾することを示す。(2)は の個数方程式を解き、最後に同じ値をもつ項を含む数列の並べ方を数える。
解答
(1)
6乗根を
と並べる。
それぞれの出現回数を とおく。ここで は含まれないので、その個数は0である。また が含まれるので である。
和が0であることから、虚部を比較して を得る。また実部を2倍して比較すると である。
まず が含まれないと仮定する。これは を意味する。虚部の式から である。これを実部の式に代入すると すなわち となる。しかし 、 なのでこれは不可能である。したがって は必ず含まれる。
同様に、 が含まれない、すなわち と仮定すると、虚部の式から である。これを実部の式に代入して すなわち となり、やはり に反する。よって も必ず含まれる。
(2)
とし、(1)と同じ記号を用いる。条件は である。
虚部の式から である。これを実部の式に代入すると より である。さらに である。
したがって個数の総和は である。 なので、 は正の整数である。上式から は偶数でなければならず、可能なのは だけである。したがって である。
つまり、6個の項は
に限られる。これらを数列として並べる通り数は、同じものが2個ずつあるので である。