問題
を自然対数の底とする．のとき，不等式が成り立つことを証明せよ．
出典：名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
とおくと、示すべき不等式は である。平均値の定理を用いて差を と表し、 から を示す。これにより となり、目的の評価が従う。
解答
とおく。 なので、区間 上で は微分可能であり、平均値の定理を用いることができる。したがって、ある実数 が を満たして存在し、 となる。
ここで である。また かつ より である。したがって であり、 が成り立つ。よって である。
以上から となり、求める不等式が示された。
別解。 で と見るだけでは端点で等号が起こり得るように見えるが、積分区間は で長さをもち、実際には 上の点を評価するため となる。この点を明確にするには上の平均値の定理の形が最も短い。