名古屋大学 2001年度理系数学第3問解答・解説

問題

$△ A B C$ の外心（外接円の中心） $O$ が三角形の内部にあるとし， $α$ ， $β$ ， $γ$ は $α O A + β O B + γ O C = 0$ を満たす正数であるとする．また，直線 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ がそれぞれ辺 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ と交わる点を $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ とする．

(1) $O A$ ， $α$ ， $β$ ， $γ$ を用いて $O A^{'}$ を表せ．

(2) $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ の外心が $O$ に一致すれば $α = β = γ$ であることを示せ．

出典：名古屋大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$A^{'}$ は直線 $O A$ 上にあり、同時に辺 $B C$ 上にある。与えられた関係式から $β O B + γ O C = - α O A$ と変形し、辺 $B C$ 上の内分点の形に合わせると $O A^{'}$ が求まる。同様に $O B^{'}$ 、 $O C^{'}$ も表し、 $O$ が $A^{'} B^{'} C^{'}$ の外心である条件を $∣ O A^{'} ∣ = ∣ O B^{'} ∣ = ∣ O C^{'} ∣$ に直す。最後は正数条件を用いて比の等式から $α = β = γ$ を導く。

解答

(1)

与えられた条件は

α O A + β O B + γ O C = 0

である。これを

β O B + γ O C = - α O A

と変形する。

点 $A^{'}$ は辺 $B C$ 上にあるので、 $B, C$ を結ぶ直線上の点として

O A^{'} = \frac{β O B + γ O C}{β + γ}

と表される。ここで $β, γ > 0$ なので、この点は実際に辺 $B C$ 上の内分点である。

上の関係式を代入すると $O A^{'} = - \frac{α}{β + γ} O A$ である。したがって

O A^{'} = - \frac{α}{β + γ} O A

を得る。

(2)

(1)と同様に、巡回的に

O B^{'} = - \frac{β}{γ + α} O B, O C^{'} = - \frac{γ}{α + β} O C

である。 $O$ は $△ A B C$ の外心なので $∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣$ である。この共通の長さを $R$ とする。すると $∣ O A^{'} ∣ = \frac{α}{β + γ} R,$

∣ O B^{'} ∣ = \frac{β}{γ + α} R, ∣ O C^{'} ∣ = \frac{γ}{α + β} R

である。

いま $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ の外心が $O$ に一致すると仮定する。このとき $∣ O A^{'} ∣ = ∣ O B^{'} ∣ = ∣ O C^{'} ∣$ であるから

\frac{α}{β + γ} = \frac{β}{γ + α} = \frac{γ}{α + β}

となる。

まず最初の2つを比べると $α (γ + α) = β (β + γ)$ である。整理すると $α^{2} - β^{2} + γ (α - β) = 0$ すなわち $(α - β) (α + β + γ) = 0$ である。 $α, β, γ$ は正数なので $α + β + γ > 0$ であり、したがって $α = β$ である。

同様に、2番目と3番目を比べれば $β = γ$ を得る。よって $α = β = γ$ である。

名古屋大学 2001年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2001年度
理系数学第3問