名古屋大学 2001年度理系数学第2問解答・解説

問題

閉区間 $[0, 2 π]$ 上で定義された $x$ の関数 $f (x) = \int_{0}^{π} sin (∣ t - x ∣ + \frac{π}{4}) d t$ の最大値および最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求めよ．

出典：名古屋大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

絶対値の中身は、 $x$ が積分区間 $[0, π]$ の中にあるか外にあるかで外れ方が変わる。 $0 ≦ x ≦ π$ では積分を $[0, x]$ と $[x, π]$ に分け、 $π ≦ x ≦ 2 π$ では常に $∣ t - x ∣ = x - t$ とする。得られた式 $2 (1 + sin x)$ と $- 2 cos (x + π /4)$ を各区間で評価し、全体の最大・最小を比較する。

解答

まず $0 ≦ x ≦ π$ の場合を考える。このとき、 $0 ≦ t ≦ x$ では $∣ t - x ∣ = x - t$ 、 $x ≦ t ≦ π$ では $∣ t - x ∣ = t - x$ である。したがって

f (x) = \int_{0}^{x} sin (x - t + \frac{π}{4}) d t + \int_{x}^{π} sin (t - x + \frac{π}{4}) d t .

第1項は

\int_{0}^{x} sin (x - t + \frac{π}{4}) d t = [- cos u]_{u = π /4}^{x + π /4} = \frac{2}{2} - cos (x + \frac{π}{4})

であり、第2項は

\int_{x}^{π} sin (t - x + \frac{π}{4}) d t = \frac{2}{2} - cos (π - x + \frac{π}{4})

である。よって

f (x) = 2 - cos (x + \frac{π}{4}) - cos (\frac{5 π}{4} - x)

である。和積公式を用いると

cos (x + \frac{π}{4}) + cos (\frac{5 π}{4} - x) = - 2 sin x

なので $f (x) = 2 (1 + sin x) (0 ≦ x ≦ π)$ である。

次に $π ≦ x ≦ 2 π$ の場合を考える。このとき $0 ≦ t ≦ π ≦ x$ だから $∣ t - x ∣ = x - t$ であり、

f (x) = \int_{0}^{π} sin (x - t + \frac{π}{4}) d t = cos (x - \frac{3 π}{4}) - cos (x + \frac{π}{4}) = - 2 cos (x + \frac{π}{4})

である。

したがって

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 (1 + sin x) - 2 cos (x + \frac{π}{4}) (0 ≦ x ≦ π), (π ≦ x ≦ 2 π)

である。 $0 ≦ x ≦ π$ では $0 ≦ sin x ≦ 1$ だから $2 ≦ f (x) ≦ 22$ であり、最大値 $22$ は $x = \frac{π}{2}$ でとる。 $π ≦ x ≦ 2 π$ では $x + π /4$ は $[5 π /4, 9 π /4]$ を動く。この範囲で $cos (x + π /4)$ の最大値は1で、これは $x + \frac{π}{4} = 2 π$ すなわち $x = \frac{7 π}{4}$ で起こる。よって $- 2 cos (x + π /4)$ の最小値は $- 2$ である。一方、この区間での最大値は $2$ 以下なので、全体の最大値は前半で得た $22$ である。

以上より、最大値は $22 (x = \frac{π}{2})$ であり、最小値は $- 2 (x = \frac{7 π}{4})$ である。

名古屋大学 2001年度理系数学 第2問

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