名古屋大学 2000年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1)

$\alpha$ が解であるから ${\alpha }^3+p{\alpha }^2+q\alpha +r=0$ である。係数 $p,q,r$ はすべて実数なので、両辺の共役を取ると ${\overline{\alpha }}^3+p{\overline{\alpha }}^2+q\overline{\alpha }+r=0$ となる。したがって $\overline{\alpha }$ も方程式の解である。$\alpha$ は虚数解なので $\overline{\alpha }\ne \alpha$ である。また虚数解は相異なる2つ $\alpha ,\beta$ だけであるから $\beta =\overline{\alpha }$ である。

(2)

(1)より $\alpha =u+vi,\beta =u-vi$ とおける。ただし $u,v$ は実数で $v\ne 0$ である。$\alpha$ と $\beta$ の距離は $2|v|$ であり、正三角形の一辺の長さが $\sqrt{3}$ だから $2|v|=\sqrt{3},v^2=\frac{3}{4}$ である。

第3の頂点 $\gamma$ は実軸上にあり、$\alpha ,\beta$ を結ぶ垂直二等分線も実軸である。正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}$ なので $\gamma =u+\frac{3}{2}\text{または}\gamma =u-\frac{3}{2}$ である。

また $\alpha \beta =u^2+v^2,\beta \gamma +\gamma \alpha =2u\gamma$ だから、条件 $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3$ は $u^2+\frac{3}{4}+2u\gamma =3$ である。

まず $\gamma =u+3/2$ のとき $u^2+\frac{3}{4}+2u\left(u+\frac{3}{2}\right)=3$ であり、整理して $4u^2+4u-3=0$ となる。したがって $u=\frac{1}{2},-\frac{3}{2}$ である。対応する $\gamma$ はそれぞれ $\gamma =2,0$ である。

次に $\gamma =u-3/2$ のとき $u^2+\frac{3}{4}+2u\left(u-\frac{3}{2}\right)=3$ であり、整理して $4u^2-4u-3=0$ となる。したがって $u=\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$ である。対応する $\gamma$ はそれぞれ $\gamma =0,-2$ である。

解と係数の関係より $p=-(\alpha +\beta +\gamma )=-(2u+\gamma ),$ $q=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3,$ $r=-\alpha \beta \gamma =-(u^2+v^2)\gamma$ である。4つの場合を代入すると $(p,q,r)=(-3,3,-2),(3,3,0),(-3,3,0),(3,3,2)$ である。したがって求める実数の組は $(3,3,0),(-3,3,-2),(3,3,2),(-3,3,0)$ である。