問題
座標空間内の6つの平面
で囲まれた立方体をとする．を，，を満たし，大きさが1のベクトルとする．を原点を通りベクトルに垂直な平面とする．
このとき，ベクトルを進行方向にもつ光線により平面に生じる立方体の影の面積を，，，を用いて表せ．ここに，の影とは内の点から平面へひいた垂線の足全体のなす図形である．
出典：名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
平面 は光線方向 に垂直なので、求める影は立方体の光線方向への正射影である。凸多面体の正射影面積は、互いに反対側にある面のうち光の方向から見える側の面の射影面積を足せばよい。単位立方体では、 面に平行な面、 面に平行な面、 面に平行な面の面積はいずれも で、それぞれの射影倍率が になる。
解答
光線の進行方向は であり、 である。影は、立方体を に垂直な平面 へ正射影した図形である。
立方体の6面は、 面に平行な2面、 面に平行な2面、 面に平行な2面に分けられる。正射影では、互いに反対側にある2面のうち、光の方向から見える側の1面だけが境界への寄与を持つと考えればよい。
たとえば 面に平行な面の法線方向は 軸方向である。この面の面積は であり、平面 への射影面積は である。同様に、 面に平行な面からの寄与は 、 面に平行な面からの寄与は である。
したがって影の面積は である。
別解。単位立方体の3本の辺ベクトルをそれぞれ平面 に正射影すると、影はそれら3本の射影ベクトルで張られる六角形になる。この六角形の面積は、3つの平行四辺形の面積の和として表され、それぞれ に等しい。