名古屋大学 2000年度
理系数学 第1問

解答

(1)

点 $A(2,0)$ を通る、$y$ 軸に平行でない直線を $y=m(x-2)$ とおく。これを双曲線 $x^2-y^2=1$ に代入すると $x^2-m^2(x-2{)}^2=1$ すなわち $(1-m^2)x^2+4m^{2}x-4m^2-1=0$ である。

この方程式が2次方程式であるとき、その判別式は $(4m^2{)}^2-4(1-m^2)(-4m^2-1)=4(3m^2+1)>0$ である。したがって2次方程式の場合には交点は2点であり、1点のみにはならない。よって1点のみで交わるには、2次の係数が消える必要がある。すなわち $1-m^2=0$ より $m=\pm 1$ である。このとき実際に一次方程式となり、交点は1点である。求める直線は $y=x-2,y=-x+2$ である。なお、点 $A$ を通る垂直線 $x=2$ は双曲線と2点で交わるので該当しない。

(2)

$m\ne \pm 1$ とし、直線が双曲線と相異なる2点で交わるとする。2交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、上の2次方程式の解と係数の関係から $x_1+x_2=-\frac{4m^2}{1-m^2}$ である。したがって中点の $x$ 座標を $X$ とすると $X=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2m^2}{1-m^2}$ である。

中点は直線 $y=m(x-2)$ 上にあるから、その $y$ 座標を $Y$ とすると $Y=m(X-2)=m\left(-\frac{2m^2}{1-m^2}-2\right)=-\frac{2m}{1-m^2}$ である。ここから $X-1=-\frac{1+m^2}{1-m^2},Y=-\frac{2m}{1-m^2}$ なので

である。よって2交点の中点は、ひとつの双曲線 $(X-1{)}^2-Y^2=1$ 上にある。