名古屋大学 1998年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1)

直線 $y=x+k$ を楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ に代入すると $\frac{x^2}{9}+\frac{(x+k{)}^2}{4}=1$ である。両辺を36倍して整理すると $13x^2+18kx+9k^2-36=0$ を得る。この二次方程式が異なる2つの実数解をもつことが、楕円と直線が二つの共有点をもつ条件である。

判別式を $D$ とすると $D=(18k{)}^2-4\cdot 13(9k^2-36)=144(13-k^2)$ である。よって $D>0$ より $13-k^2>0$ すなわち $-\sqrt{13}<k<\sqrt{13}$ である。

(2)

2つの共有点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。すると $P=(\alpha ,\alpha +k),Q=(\beta ,\beta +k)$ であるから、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ とすると

である。

二次方程式 $13x^2+18kx+9k^2-36=0$ の根の差は $|\alpha -\beta |=\frac{\sqrt{D}}{13}=\frac{12\sqrt{13-k^2}}{13}$ である。したがって $S=\frac{6|k|\sqrt{13-k^2}}{13}(0<|k|<\sqrt{13})$ である。

ここで $u=k^2$ とおくと $|k|\sqrt{13-k^2}=\sqrt{u(13-u)}$ であり、$0<u<13$ である。積 $u(13-u)$ は $u(13-u)=-{\left(u-\frac{13}{2}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2$ より $u=13/2$ のとき最大となる。よって $k^2=\frac{13}{2}$ であるから $k=\pm \sqrt{\frac{13}{2}}$ である。このとき最大面積は $S_{\max }=\frac{6}{13}\sqrt{\frac{13}{2}\cdot \frac{13}{2}}=3$ である。

別解。最後の最大化は相加相乗でも処理できる。$k^2>0$、$13-k^2>0$ で、和が $k^2+(13-k^2)=13$ と一定なので $k^2(13-k^2)\leqq {\left(\frac{13}{2}\right)}^2$ である。等号は $k^2=13-k^2$、すなわち $k^2=13/2$ のときで、同じ結論を得る。