名古屋大学 1998年度理系数学第1問解答・解説

問題

曲線 $y = lo g x$ $(x > 0)$ 上の点 $P (a, lo g a)$ $(a > 1)$ での接線を $l$ とし， $P$ から $x$ 軸へおろした垂線の足を $H$ とする．さらに，接線 $l$ と $x$ 軸，および曲線 $y = lo g x$ で囲まれた図形の面積を $S_{1}$ ，曲線と $x$ 軸，および線分 $P H$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とする．

(1) $S_{1}$ ， $S_{2}$ を求めよ．

(2) $a \to \infty$ の時の $\frac{S _{1}}{S _{2} \cdot P H}$ の極限を求めよ．

出典：名古屋大学 1998年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

接線の式を出し、その $x$ 軸との交点から接線と $x$ 軸でできる三角形の面積を求める。 $S_{1}$ はその三角形から $1 ≦ x ≦ a$ の曲線下の面積を引くと整理しやすい。極限では $P H = lo g a$ を明記し、分子・分母を $a (lo g a)^{2}$ で割って低次の項が消えることを確認する。

解答

(1)

曲線 $y = lo g x$ の導関数は $1/ x$ であるから、点 $P (a, lo g a)$ における接線 $l$ は $y - lo g a = \frac{1}{a} (x - a)$ すなわち $y = \frac{x}{a} - 1 + lo g a$ である。この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は、 $y = 0$ として $0 = \frac{x}{a} - 1 + lo g a$ より $x = a (1 - lo g a)$ である。

接線と $x$ 軸でできる三角形は、高さ $lo g a$ 、底辺の長さ $a - a (1 - lo g a) = a lo g a$ をもつ。したがってその面積は $\frac{1}{2} a (lo g a)^{2}$ である。一方、曲線と $x$ 軸、および線分 $P H$ で囲まれた面積は $S_{2} = \int_{1}^{a} lo g x d x$ である。部分積分、または $x lo g x - x$ を微分して確認することで $\int lo g x d x = x lo g x - x$ だから $S_{2} = [x lo g x - x]_{1}^{a} = a lo g a - a + 1$ となる。したがって $S_{1} = \frac{a ( l o g a ) ^{2}}{2} - (a lo g a - a + 1)$ であり、 $S_{2} = a lo g a - a + 1$ である。

(2)

$P H$ は点 $P$ の $y$ 座標に等しいので $P H = lo g a$ である。よって

\frac{S _{1}}{S _{2} \cdot P H} = \frac{\frac{a ( lo g a ) ^{2}}{2} - a lo g a + a - 1}{( a lo g a - a + 1 ) lo g a}

である。分子・分母を $a (lo g a)^{2}$ で割ると

\frac{S _{1}}{S _{2} \cdot P H} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{lo g a} + \frac{1}{( lo g a ) ^{2}} - \frac{1}{a ( lo g a ) ^{2}}}{1 - \frac{1}{lo g a} + \frac{1}{a lo g a}}

となる。 $a \to \infty$ のとき $lo g a \to \infty$ であるから、右辺は $\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$ に近づく。したがって $lim_{a \to \infty} \frac{S _{1}}{S _{2} \cdot P H} = \frac{1}{2}$ である。

名古屋大学 1998年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1998年度
理系数学第1問