問題
座標平面上に4点，，，を頂点とする正方形を考え，この正方形の頂点上を点が1秒ごとに一つの頂点から隣の頂点に移動しているとする．さらに，点は，軸と平行な方向の移動について確率，軸と平行な方向の移動について確率で移動しているものとする．最初に点が頂点にいたとするとき，秒後に頂点，にいる確率をそれぞれ，とする．，を求めよ．
出典：名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
頂点の位置は、横方向に動いた回数と縦方向に動いた回数の偶奇で完全に決まる。 と は対角なので、奇数秒後にはどちらにもいない。偶数秒後だけを考え、横移動回数が偶数なら 、奇数なら として、二項展開から偶数項和・奇数項和を取り出す。
解答
とおく。 秒間で横方向に動いた回数を とする。横方向の移動は 座標を反転させ、縦方向の移動は 座標を反転させる。出発点は である。 または にいるには、移動後も 座標と 座標の偶奇がそろっている必要がある。これは移動回数 が偶数であるときに限られる。したがって が奇数なら である。
次に とする。このとき縦方向の移動回数は であるから、 が偶数なら縦方向の移動回数も偶数で、点は にいる。 が奇数なら縦方向の移動回数も奇数で、点は にいる。よって である。
偶数項和を求めるため、 と を加える。奇数次の項が消えるので である。したがって である。
また偶数秒後には と のどちらかに必ずいるので である。ゆえに である。
以上をまとめると、
である。