名古屋大学 1998年度
理系数学 第4問(a)

解答

(1)

$z=1$ のときは $S_1=1+1+\cdots +1=N$ である。 $z\ne 1$ のときは $(1-z)S_1=1-z^N$ である。仮定より $z^N=1$ だから $(1-z)S_1=0$ であり、$1-z\ne 0$ より $S_1=0$ である。したがって

である。

(2)

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ であるから $z^k=\cos k\theta +i\sin k\theta$ である。よって $S_2=1+\cos \theta +\cdots +\cos (N-1)\theta$ は $S_1$ の実部である。(1)の値はどちらの場合も実数なので

である。

(3)

恒等式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を用いると

である。括弧内の和は、複素数 $z^2$ に対して(2)と同じ和を考えたものの実部である。しかも $(z^2{)}^N=z^{2N}=1$ である。

もし $z^2=1$ なら、すなわち $z=1$ または $z=-1$ なら、括弧内の各項はすべて $1$ なので、その和は $N$ である。したがって $S_3=\frac{N}{2}+\frac{N}{2}=N$ である。

一方、$z^2\ne 1$ なら、(2)と同じ理由で括弧内の和は $0$ である。したがって $S_3=\frac{N}{2}$ である。以上より

である。

別解。$S_3$ だけは

としてもよい。$k=0,1,\dots ,N-1$ で和をとると、$z^2\ne 1$ の場合は $z^{2k}$ の和も $z^{-2k}$ の和も $0$ になり、$S_3=N/2$ が出る。$z^2=1$ の場合は各項が $1$ なので $S_3=N$ である。