問題
平面上に放物線と直線を考える．
(1) 放物線上の点での法線と直線との交点をとし，その座標をとする．をとで表わせ．
(2) 直線上の点を放物線の異なる3法線が通るようなの範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
法線を接点の 座標 で表し、直線 との交点の 座標を関数 として得る。異なる3本の法線が通る条件は、水平線 が三次関数 のグラフと異なる3点で交わる条件である。したがって の符号、極大値・極小値、端点で重解になる場合を順に調べる。
解答
(1)
放物線 上の点 における接線の傾きは である。
まず とする。このとき法線の傾きは であるから、法線の方程式は である。これが直線 と交わる点を とすると であり、両辺に をかけて となる。したがって である。
また のとき、接線は 、法線は であるから、直線 との交点は である。上の式に を代入しても となる。よってすべての実数 について である。
(2)
点 を通る法線の本数は、方程式 の異なる実数解 の個数に等しい。そこで とおく。
導関数は である。 のときは であり、特に では単調増加、 では である。いずれも水平線 と3点で交わることはない。
次に とする。このとき となるのは である。符号を調べると、 は で増加、 で減少、 で増加する。したがって で極大、 で極小をとる。
極値を計算する。 より であり、 である。水平線 がグラフと異なる3点で交わるためには、 が極小値と極大値の間に厳密に入ることが必要十分である。端点では接するため異なる解は2個以下になる。よって である。すなわち である。
以上より、求める範囲は である。