問題
点の極座標が次の極方程式を満たす．
ここで，極方程式においては，が負である極座標の点も考える．すなわち，のとき，極座標はと同じ点を表すものとする．次の問に答えよ．
(1) がの範囲を動くとき，点の軌跡を求め図示せよ．
(2) がの範囲を動くとき，の最小値とそれを与える，およびの最大値とそれを与えるを求めよ．
(3) がの範囲を動くとき，が描く図形の長さを求めよ．
出典：名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第4問(b)
方針
極方程式に を用いて直交座標へ直し、円 を得る。負の が許されるため、 を境に実際の点の向きが反対側へ移ることを追う。 の最小最大は で調べ、弧長は円の中心角、または極座標の弧長公式で確認する。
解答
(1)
とおく。与えられた式 の両辺に をかけると である。したがって となり、整理して を得る。軌跡は中心 、半径 の円の一部である。
端点と途中の点を確認する。 のとき なので点は である。 のとき なので点は原点である。 のとき であり、負の極径を許す約束により、これは を表す。
したがって、 が から まで動くとき、点 は円 のうち、 から原点を通り、 に至る半円弧を描く。
(2)
である。さらに である。 では、 のとき となる。したがって最小値は である。
また区間の端では である。 はこの区間で から を通って へ変化するので、絶対値の最大値は両端でとる。よって である。
(3)
では、点 は上の円の原点から までの弧を描く。中心は で半径は である。原点に向かう半径ベクトルは 、 に向かう半径ベクトルは であり、この2つのなす角は である。したがって弧の長さは である。
別解。極座標のまま弧長を計算してもよい。 だから である。よって
となる。したがって
で同じ結果を得る。