問題
以下の問に答えよ．
(1) 次式を満足する平面上の点が存在するためには，実数はどのような範囲にあるべきか答えよ．ただしとする．
(2) 点が前問の式を満足する領域を動くとき，を最大および最小にする点の座標を求めよ．
(3) 前問においての最大値をの関数として求め，そのグラフをかけ．
方針
領域は原点中心半径 の円板と半平面 の共通部分である。存在条件は、円板上で が取り得る最大値を使う。最大・最小は凸な領域上の一次式なので境界で起こり、境界直線 上の点を と置くと、交点と の値が1変数で整理できる。最大だけは円板全体での支持点が半平面に入るかで場合分けする。
解答
(1)
円板 上で、一次式 の最大値を求める。恒等式 より である。したがって である。したがって を満たす点が存在するためには が必要である。逆にこの条件が成り立てば、点 では となるので、条件を満たす点が存在する。よって である。
(2)
以下 とする。境界直線 上の点を と表す。このとき である。円周との交点は より である。
この直線上では である。共通領域における の最小は、半平面の境界上で が最大となる点で起こる。したがって最小にする点は である。
最大について、まず円板だけで を最大にする点は で、その値は である。この点が半平面 に入る条件は すなわち である。
したがって、 のとき、最大にする点は である。一方、 のときは、この円の支持点が半平面の外にあるので、最大は境界直線と円周の交点のうち が大きい方、すなわち で起こる。よって である。
以上をまとめると、 であり、
である。ただし である。
(3)
(2)より最大値を とする。 では である。したがって である。 では、円板の支持点が使えるので である。ゆえに
である。
グラフは で から始まり、前半は平方根型に増加する。接続点 では であり、後半の直線 も同じ値 をとる。したがってそこから先は傾き の直線となる。