問題
(1) 複素数0，，およびを表す複素数平面上の点をそれぞれ，，およびとする．点が三角形の辺上を1周するとき，
によって定められる点が描く図形を求め，複素数平面上に図示せよ．
(2) この図形が囲む領域の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第4問(a)
方針
写像は なので、三角形の3辺をそれぞれ媒介変数で表し、 の の関係を求める。像は3本の放物線弧で囲まれる。面積は上下ではなく左右の境界で分け、 と に分けて横幅を積分する。
解答
(1)
である。 とおき、三角形 の各辺の像を調べる。
辺 では 、 とおける。したがって である。よって だから を描く。この弧は から へ進む。
辺 では 、 とおける。すると である。よって となり、 を描く。この弧は から へ進む。
辺 の点は 、 と表せる。この向きは から への向きだが、図形としての像は同じである。このとき である。よって であり、 を代入して を得る。この弧は と を結ぶ。
以上より、求める図形は の3本の放物線弧で囲まれる図形である。頂点は である。
(2)
面積を 方向の横幅で求める。弧 の像は であり、囲まれた領域では右側の境界として と書ける。
一方、左側の境界は では辺 の像 であり、 では辺 の像 である。したがって面積 は
である。
まず
である。また
であり、
である。よって である。