名古屋大学 1998年度
後期・理系数学 後期第1問

解答

(1)

関数は $x=0,1$ で定義されない。$x\ne 0,1$ で微分すると

である。したがって $y^{\prime }=-\frac{e^{-a/x}(x^2-ax+a)}{x^2(x-1{)}^2}$ である。ここで $e^{-a/x}>0$、$x^2(x-1{)}^2>0$ なので、$y^{\prime }$ の符号は $-(x^2-ax+a)$ の符号で決まる。 $a<4$ のとき、二次式 $x^2-ax+a$ の判別式は $a^2-4a=a(a-4)<0$ である。先頭係数は正なので、すべての実数 $x$ に対して $x^2-ax+a>0$ である。したがって定義域の各区間で $y^{\prime }<0$ となり、$y$ は極値をもたない。

(2)

$a>4$ のとき、方程式 $x^2-ax+a=0$ は2つの正の解をもつ。それらを

とおく。$a>4$ だから $a-2>0$ であり、$\alpha >1$ は $a-\sqrt{a^2-4a}>2$ すなわち $a-2>\sqrt{a^2-4a}$ と同値である。両辺は正で、二乗すると $(a-2{)}^2>a^2-4a$ すなわち $4>0$ となるので、確かに $\alpha >1$ である。また $\alpha <\frac{a}{2}<\beta$ は式から直ちにわかる。よって $1<\alpha <\frac{a}{2}<\beta$ である。

二次式 $x^2-ax+a$ は $x<\alpha$、$x>\beta$ で正、$\alpha <x<\beta$ で負である。したがって $y^{\prime }$ は $x<\alpha$、$x>\beta$ で負、$\alpha <x<\beta$ で正である。特に $(1,\infty )$ では、$x=\alpha$ で減少から増加に変わるので極小値をとり、$x=\beta$ で増加から減少に変わるので極大値をとる。位置は $1<\alpha <\frac{a}{2},\frac{a}{2}<\beta$ であるから、題意の主張が示された。

(3)

$x\to +0$ のとき、$-a/x\to -\infty$ なので $e^{-a/x}\to 0$ であり、また $x-1\to -1$ である。したがって $y\to 0$ で、値は負の側から $0$ に近づく。

一方、$x\to -0$ のとき、$-a/x\to +\infty$ なので $e^{-a/x}\to \infty$ であり、$x-1\to -1$ である。したがって $y\to -\infty$ である。

(4)

概形に必要な端の様子をまとめる。$x\to 1-0$ では分子が正の定数 $e^{-a}$ に近づき、分母が負の側から $0$ に近づくので $y\to -\infty$ である。$x\to 1+0$ では $y\to +\infty$ である。また $x\to -\infty \text{で}y\to 0\text{ かつ負},$ また $x\to +\infty \text{で}y\to 0\text{ かつ正}$ である。 $a<4$ では、(1)より各区間 $(-\infty ,0)$、$(0,1)$、$(1,\infty )$ で単調減少する。したがって、左側の枝は $0$ の負の側から始まり $x\to -0$ で $-\infty$ へ下がり、中央の枝は $x\to +0$ で $0$ の負の側から $x\to 1-0$ で $-\infty$ へ下がり、右側の枝は $x\to 1+0$ で $+\infty$ から $0$ の正の側へ下がる。 $a=4$ では $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ なので、$x=2$ で $y^{\prime }=0$ となるが、符号は変わらない。したがって極値はなく、$x=2$ で水平な接線をもつ以外は $a<4$ と同じ単調減少の概形である。 $a>4$ では、負の側と $0<x<1$ の枝は単調減少である。$(1,\infty )$ の枝は $x=\alpha$ で極小値をとり、$x=\beta$ で極大値をとった後、$0$ の正の側へ近づく。ここで $\alpha =\frac{a-\sqrt{a^2-4a}}{2},\beta =\frac{a+\sqrt{a^2-4a}}{2}$ である。