問題
，，の3人が，それぞれさいころを振り，出た目の大きい順に順位を決めるものとする．ただし，同じ目が出た場合は同順位とする．例えば，とが5を出しが3なら，とが1位では3位とする．が5を出しとが3なら，が1位でとは2位とする．また，ももも5を出せば，3人とも1位とする．以下の問に答えよ．
(1) 1位，2位，3位が，すべて単独で決まる確率を求めよ．
(2) が1位になる確率を求めよ．
(3) との少なくとも一方が1位になる確率を求めよ．
(4) 単独で1位なら4点，2人で1位なら3点，3人で1位なら2点，単独で2位なら2点，2人で2位なら1点，3位なら0点が与えられる場合，の得点の期待値を求めよ．
方針
全事象は 通りで等確率である。(1)は3人の出目がすべて異なる場合、(2)はAの出目を固定してB,Cがそれ以下の場合、(3)は余事象としてCだけが単独1位の場合を数える。(4)は場合ごとに3人の得点合計が常に 点であることを確認し、対称性からAの期待値を求める。
解答
(1)
1位、2位、3位がすべて単独で決まるのは、A、B、Cの3人の出目がすべて異なるときである。出目の組は全部で 通りあり、すべて異なる出方は 通りである。したがって求める確率は である。
(2)
Aが1位になるとは、Aより大きい目を出した人がいないという意味であり、同点1位も含む。Aの出目が であるとき、BとCの出目はどちらも 以下であればよい。そのような組は 通りである。
よって求める確率は である。
(3)
「AとBの少なくとも一方が1位になる」の余事象は、AもBも1位でない場合である。これはCだけが単独で1位になる場合に限られる。
Cの出目が であるとき、AとBはどちらも より小さい目を出す必要があるので、 通りである。したがってCだけが単独1位になる出方は 通りである。よって求める確率は である。
(4)
まず、どの出方でも3人に与えられる得点の合計が 点であることを確認する。3人の目がすべて異なれば、得点は である。2人が1位で並ぶ場合は である。1人が単独1位で、残り2人が2位で並ぶ場合は である。3人が全員1位で並ぶ場合は である。
A、B、Cは完全に対称であるから、3人の得点の期待値は等しい。3人の得点合計の期待値は常に なので、Aの得点の期待値を とすると である。したがって である。
別解。(2)のようにAの得点を出目ごとに直接数えることもできるが、同点の種類が多くなる。得点規則が「全員の合計が常に6点」になるよう作られていることを見抜くと、場合分けを大幅に減らせる。