名古屋大学 1997年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1)

$u=a+b,v=a-b$ とおく。仮定より $f(0)=c$ は整数である。また $f(1)=1+a+b+c=1+u+c$ が整数で、すでに$c$が整数なので$u$も整数である。さらに $f(-1)=-1+a-b+c=-1+v+c$ が整数であるから、$v$も整数である。

任意の整数$n$について $f(n)=n^3+a{n}^2+bn+c$ である。$a=\frac{u+v}{2}$, $b=\frac{u-v}{2}$より $a{n}^2+bn=\frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}$ である。したがって $f(n)=n^3+c+\frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}$ と表せる。 $n(n+1)$と$n(n-1)$はいずれも連続する2整数の積なので偶数である。$u,v,c$は整数であるから、右辺は整数である。よってすべての整数$n$に対して$f(n)$は整数である。

(2)

$g(x)=f(x+1997)$ とおく。$g(x)$も最高次係数が1の3次多項式である。また $g(-1)=f(1996),g(0)=f(1997),g(1)=f(1998)$ はいずれも整数である。したがって(1)を$g$に適用すると、すべての整数$m$について$g(m)$は整数である。

任意の整数$n$は $n=m+1997$ すなわち$m=n-1997$と書ける。この$m$は整数であるから $f(n)=f(m+1997)=g(m)$ は整数である。よってこの場合も、すべての整数$n$に対して$f(n)$は整数である。