問題
均質な材質で出来た直方体の各面に1から6までの数を1つずつ書いてサイコロの代わりにする（1の反対側が6とはかぎらない）．ある数の出る確率がであり，別のある数が出る確率がであるとする．さらに出る目の数の期待値が3であるとする．3の書かれている面の反対側の面に書かれている数は何か．
出典：名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)／理系 第4問(a)
方針
直方体では向かい合う2面の面積が等しいので、反対側の面に書かれた2つの数は同じ確率で出る。まず3組の向かい合う面について、1面あたりの確率を, , と置いてを求める。次に各組の向かい合う2数の和をとし、期待値の式とを連立して、どの2数が向かい合うかを決める。
解答
直方体の向かい合う2面は面積が等しいので、それぞれ同じ確率で出る。したがって、出る確率がである面の反対側の面も確率で出る。同様に、出る確率がである面の反対側の面も確率で出る。
残りの向かい合う2面の1面あたりの確率をとする。全確率は1なので である。よって となり、 である。
確率, , の組に書かれている向かい合う2数の和をそれぞれとする。期待値が3であるから である。また、1から6までの和は21なので である。
期待値の式を36倍すると である。一方、を5倍すると である。上の2式を引くと すなわち である。
2つの異なる目の和は最小で、最大でである。したがってより となり である。さらになので しかない。よって である。
和が3になる2数はだけであるから、確率の向かい合う2面には1と2が書かれている。残りのは、2組とも和が9になるように向かい合うので が反対側の組である。したがって、3の書かれている面の反対側に書かれている数は である。