問題
座標平面上で，1つの円が放物線に右側から接し，かつ軸に上から接している．放物線との接点の座標を とするとき，円の中心の座標を求めよ．
ただし，円と放物線がある点で接するとは，その点で両者が交わり，かつその点における両者の接線が一致することをいう．
出典：名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
円の中心をとおく。軸に上から接するので、中心の高さが円の半径である。放物線の接点はで、接線の傾きはであるから、半径は法線方向、すなわち傾きの直線上にある。右側から接する条件で中心をの右側に置き、半径の長さと中心の高さを等置して解く。
解答
円の中心を とおく。円は軸に上から接しているので、半径は中心の座標に等しく、である。
放物線との接点は である。放物線のにおける接線の傾きはである。円と放物線が接するので、半径はこの接線に垂直であり、その傾きは である。円は放物線に右側から接するので、中心はより右側の法線上にある。そこでを用いて とおく。
中心の高さは半径に等しいので である。一方、の長さも半径であり、
である。したがって である。 とおくと、上の式は となるので である。ここで であるから である。また である。
したがって円の中心は
である。
別解。中心を直接としてもよい。接線の垂直条件から であり、さらにである。これら2式を連立して、右側から接する条件を選べば、同じ中心座標を得る。