名古屋大学 1997年度理系数学第3問解答・解説

問題

正数からなる数列 ${a_{n}}$ が条件 $k = 1 \sum n (a_{k})^{2} = n^{2} + 2 n$ を満たしているとする．数列 ${\frac{a _{1} + \dots\dots + a _{n}}{n ^{r}}}$ が収束する実数 $r$ の範囲を求めよ．また収束する場合，その極限値を求めよ．

出典：名古屋大学 1997年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

平方和の条件を $n$ と $n - 1$ で引き、まず一般項 $a_{n} = 2 n + 1$ を求める。和 $a_{1} + \dots + a_{n}$ は $n$ 程度の項が $n$ 個あるため、主な大きさは $n^{3/2}$ である。実際に $n^{- 3/2}$ を掛けて区分求積法に直し、 $r = \frac{3}{2}$ を境に極限を分類する。

解答

$n ≧ 2$ について、与えられた条件を $n$ の場合と $n - 1$ の場合で引くと $a_{n}^{2} = (n^{2} + 2 n) - {(n - 1)^{2} + 2 (n - 1)}$ である。右辺を整理すると $n^{2} + 2 n - (n^{2} - 2 n + 1 + 2 n - 2) = 2 n + 1$ である。また $n = 1$ のときも $a_{1}^{2} = 1^{2} + 2 = 3 = 2 \cdot 1 + 1$ で同じ式になる。数列は正数からなるので $a_{n} = 2 n + 1$ である。

したがって

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n ^{3/2}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{2 k}{n} + \frac{1}{n}

である。区分求積法により

n \to \infty lim \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n ^{3/2}} = \int_{0}^{1} 2 x d x

である。この積分は

\int_{0}^{1} 2 x d x = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} d x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 2}{3}

である。

よって

\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n ^{r}} = \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n ^{3/2}} \cdot n^{3/2 - r}

である。前半の因子は正の定数 $\frac{2 2}{3}$ に収束する。

したがって、 $r = \frac{3}{2}$ のとき極限は $\frac{2 2}{3}$ である。 $r > \frac{3}{2}$ のときは $n^{3/2 - r} \to 0$ なので極限は0である。一方、 $r < \frac{3}{2}$ のときは $n^{3/2 - r} \to \infty$ となり、数列は有限の実数には収束しない。

以上より、収束する $r$ の範囲は $r ≧ \frac{3}{2}$ であり、極限値は

⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 2}{3} 0 (r = \frac{3}{2}), (r > \frac{3}{2})

である。

名古屋大学 1997年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

名古屋大学 1997年度
理系数学第3問