問題
上の時速，，で等速運動する3点があって，それぞれから辺に沿ってへ，から辺に沿ってへ，から辺に沿ってへ同時に出発したとする．時間後のそれらの位置をそれぞれ，，とする．3点が同時に次の頂点に到達するための必要十分条件は，の重心の位置がによらず一定なことである．これを示せ．
出典：名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
各辺の長さを, , とおき、各点の位置ベクトルを「その辺を進んだ割合」で表す。重心が一定であることは、3点の速度ベクトルの和が0であることと同値である。三角形の2辺方向のベクトルは一次独立なので、係数比較によりを得る。これは3点が次の頂点に到達する時刻が等しいことと同値である。
解答
, , とし、頂点の位置ベクトルをそれぞれとする。3点が次の頂点に到達するまでの間は
である。
重心の位置ベクトルをとすると
である。したがって、重心がによらず一定であることは、の係数が0であること、すなわち
と同値である。
ここで であるから、上の式は
となる。とは平行でないので一次独立である。よって すなわち である。
一方、3点が次の頂点に到達する時刻はそれぞれ である。これらが等しいことは と同値である。したがって、3点が同時に次の頂点に到達するための必要十分条件は、の重心の位置がによらず一定であることである。