名古屋大学 1996年度
理系数学 第4問(b)

解答

(1)

$n\geqq 1$ とする。定義より $f_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^k}{k!}$ である。これを微分すると

である。ここで $j=k-1$ とおくと ${f_n}^{\prime }(x)={\sum }_{j=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{j+1}{x}^j}{j!}=-f_{n-1}(x)$ となる。

(2)

$g_n(x)=f_n(x)-e^{-x}$ とおく。すべての $n$ について $g_n(0)=f_n(0)-1=0$ である。また(1)より $g_n^{\prime }(x)={f_n}^{\prime }(x)+e^{-x}=-f_{n-1}(x)+e^{-x}=-g_{n-1}(x)$ である。

まず $g_0(x)=1-e^{-x}\geqq 0(x\geqq 0)$ である。ある $n-1$ について $g_{n-1}(x)\geqq 0$ が $x\geqq 0$ で成り立つなら，$g_n^{\prime }(x)=-g_{n-1}(x)\leqq 0$ であり，$g_n(0)=0$ だから $x\geqq 0$ で $g_n(x)\leqq 0$ となる。逆に $g_{n-1}(x)\leqq 0$ なら $g_n^{\prime }(x)\geqq 0$ であり，$g_n(0)=0$ から $g_n(x)\geqq 0$ となる。

したがって符号は $n$ の偶奇で交互に変わり，$x\geqq 0$ において $n\text{ が偶数なら }{g}_n(x)\geqq 0,n\text{ が奇数なら }{g}_n(x)\leqq 0$ である。すなわち

である。

(3)

$n$ を奇数とする。このとき $n-1$ は偶数であるから，(2)より $f_{n-1}(x)\geqq e^{-x}>0(x\geqq 0)$ である。したがって(1)から $f_n^{\prime }(x)=-f_{n-1}(x)<0(x\geqq 0)$ であり，$f_n(x)$ は $x\geqq 0$ で狭い意味で単調減少である。

また $f_n(0)=1>0$ である。一方，$n$ は奇数なので $f_n(x)$ の最高次の項は $-\frac{x^n}{n!}$ であり，$x$ が十分大きくなると他の項を上回って $f_n(x)<0$ となる。よって連続性により $x\geqq 0$ に少なくとも1つの解がある。

さらに $f_n$ は $x\geqq 0$ で単調減少であるから，解は2つ以上存在しない。したがって $f_n(x)=0$ は $x\geqq 0$ の範囲でただ1つの解をもつ。