問題
数列があって，すべてのについて，初項から第項までの和がに等しいとする．
(1) がすべて正とする．一般項を求めよ．
(2) 最初の100項のうち，1つは負で他はすべて正とする．を求めよ．
出典：名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は部分和 を導入し， から または を得る。すべて正なら後者を選べないので等差数列になる。(2)では，最初の100項に負の項が1つだけある位置を とする。負になる前は必ず正項列と同じ増え方をし，負になった後は正に戻すための選択を調べる。負の項が第100項か，それより前かで が分かれる。
解答
(1)
部分和を とおく。条件は である。 では より であるから である。 では より である。整理すると となるので または である。すべての項が正なら， から後者は選べない。したがって常に である。よって である。
(2)
上で得た関係により，各 で または である。
最初の100項のうち，ただ1つの負の項が第 項であるとする。 だから である。第 項より前には負の項がないので，そこまでは毎回 を選ぶ。したがって である。
第 項を負にするには でなければならない。
まず の場合を考える。第 項以後は正でなければならない。 の場合は で，二つの選択はいずれも を与える。 の場合は なので，正に戻すには を選ぶしかない。その後は負の項を増やさないため，毎回 を加える選択をする。よって
である。
次に の場合は，第99項まではすべて正項列と同じだから であり， となる。
したがって求める値は である。