名古屋大学 1996年度理系数学第3問解答・解説

問題

自然数 $n$ と正の数 $t$ に対して $f_{n} (t) = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} lo g \frac{t}{x} d x$ とおく．

(1) 各 $n$ に対して， $1 ≦ t ≦ n$ における $f_{n} (t)$ の最大値 $A_{n}$ と最小値 $B_{n}$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim (A_{n + 1} - A_{n})$ を求めよ．ただし， $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ は用いてよい．

出典：名古屋大学 1996年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

$u = lo g x$ ， $s = lo g t$ と置換すると， $d x / x = d u$ であり，積分は区間 $0 ≦ u ≦ lo g n$ 上で $∣ s - u ∣$ を積分する問題になる。 $1 ≦ t ≦ n$ では $0 ≦ s ≦ L = lo g n$ なので，絶対値を $u = s$ で分けて二次式を得る。その二次式の最大・最小を端点と頂点で求める。(2)は $A_{n} = (lo g n)^{2} /2$ を用い，差を積の形にして与えられた極限で0に落とす。

解答

(1)

$L = lo g n, s = lo g t$ とおく。 $1 ≦ t ≦ n$ であるから $0 ≦ s ≦ L$ である。また $u = lo g x$ とおくと $d x / x = d u$ で， $x = 1$ のとき $u = 0$ ， $x = n$ のとき $u = L$ である。したがって $f_{n} (t) = \int_{0}^{L} ∣ s - u ∣ d u$ となる。

絶対値を $u = s$ で分けると

f_{n} (t) = \int_{0}^{s} (s - u) d u + \int_{s}^{L} (u - s) d u = \frac{s ^{2}}{2} + \frac{( L - s ) ^{2}}{2}

である。これを整理すると $f_{n} (t) = (s - \frac{L}{2})^{2} + \frac{L ^{2}}{4}$ である。

よって最小値は $s = L /2$ ，すなわち $t = n$ のとき $B_{n} = \frac{L ^{2}}{4} = \frac{( l o g n ) ^{2}}{4}$ である。最大値は区間 $0 ≦ s ≦ L$ の端点 $s = 0$ または $s = L$ ，すなわち $t = 1$ または $t = n$ のとき $A_{n} = \frac{L ^{2}}{2} = \frac{( l o g n ) ^{2}}{2}$ である。

(2)

(1)より $A_{n + 1} - A_{n} = \frac{1}{2} {(lo g (n + 1))^{2} - (lo g n)^{2}}$ である。平方差に直すと $A_{n + 1} - A_{n} = \frac{1}{2} lo g \frac{n + 1}{n} \cdot lo g {n (n + 1)}$ である。

ここで $0 < lo g (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$ を用いると $0 ≦ A_{n + 1} - A_{n} < \frac{1}{2 n} lo g {n (n + 1)}$ である。さらに $n (n + 1) < (n + 1)^{2}$ より $0 ≦ A_{n + 1} - A_{n} < \frac{l o g ( n + 1 )}{n}$ である。与えられた $lim_{x \to \infty} \frac{l o g x}{x} = 0$ を使えば右辺は0に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} (A_{n + 1} - A_{n}) = 0$ である。

別解。(1)の式 $f_{n} (t) = \frac{s ^{2} + ( L - s ) ^{2}}{2}$ は，区間 $[0, L]$ 上の点 $s$ から両端 $0, L$ までの距離の2乗和の半分である。両端から等距離の $s = L /2$ で最小，どちらかの端点に寄った $s = 0, L$ で最大と見れば，平方完成をしなくても同じ $A_{n}, B_{n}$ が得られる。

名古屋大学 1996年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1996年度
理系数学第3問