問題
空間内で，平面上に円，平面上に直線がある．点，，にある光源が平面に映すこれらの円と直線の影を，それぞれ，とする．
(1) とが相異なる2点で交わるようなの範囲を求めよ．
(2) との2交点を結ぶ線分の中点をとする．が(1)の範囲を動くときの点の軌跡を図示せよ．
出典：名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
光源 から 平面への射影では，高さ の図形が原点中心に 倍される。したがって高さ1の円の影は中心と半径を倍率で求め，高さ2の直線 の影は垂直な直線になる。(1)は円と垂直線が2点で交わる条件を，中心から直線までの距離が半径より小さい条件で表す。(2)は2交点の中点が円の中心から直線へ下ろした垂線の足になることを使い， を消去して軌跡を求める。
解答
高さ にある点 の影を求める。光源 とこの点を結ぶ直線上の点は と書ける。これが 平面上にあるとき， 座標は を満たすので である。よって影は である。
高さ の平面上の円 は，倍率 で写る。したがって は中心 半径 の円である。また，高さ の平面上の直線 の影は である。
(1)
と が相異なる2点で交わる条件は，円の中心から直線 までの距離が半径より小さいことである。 だから であり，条件は である。左辺は だから，正の数 で割ると となる。よって である。
(2)
円と直線の2交点を結ぶ弦は直線 上にあり，その中点は円の中心から へ下ろした垂線の足である。したがって である。 とおくと より である。これを に代入すると を得る。また のとき， は を満たす。
したがって点 の軌跡は で表される曲線である。端点 は接する場合に対応するので含まず， は の極限であり含まない。