問題
3人がじゃんけんで1，2，3番を決める．ちょうど回目で3人の順位が確定する確率を求めよ．ただし3人とも，グー，チョキ，パーを出す確率はすべてとする．
出典：名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)／理系 第4問(a)
方針
3人のじゃんけんでは，1回で全順位が決まることはない。まず全員同じ手または全員異なる手なら何も決まらず，それ以外なら1人だけが1位または3位に確定する。その後は残った2人の順位が決まるまでの問題になる。3人の段階で初めて1つの順位が決まる時刻と，2人の段階で決着するまでの回数を足して 回にする形で数える。
解答
3人が1回じゃんけんをするとき，結果は全部で 通りで等確率である。
全員が同じ手を出す場合は3通り，全員が異なる手を出す場合は 通りで，このとき順位は何も決まらない。したがって，3人のままやり直しになる確率は である。それ以外の18通りでは，1人だけが勝つか，1人だけが負けるので，1位または3位が1つ確定する。この確率は である。
残った2人のじゃんけんでは，1回で順位が決まる確率は であり，あいこでやり直しになる確率は である。
ちょうど 回目で3人の順位が確定するには，まず3人の段階で 回何も決まらず， 回目に1つの順位が決まり，その後2人の段階で 回あいこが続き，最後に決着すればよい。ここで である。したがって のとき
である。1回だけで3人の順位がすべて確定することはないので である。
別解。3人の段階で1つの順位が決まるまでの回数を ，残った2人で順位が決まるまでの回数を とする。どちらも「失敗確率 ，成功確率 」の同じ形であり， となる確率を足せばよい。よって
となる。