問題
さいころを続けて投げるとき，出る目の総和が回目に初めて自然数より大きくなる確率をと書く．
(1) を求めよ．
(2) を，，を用いて表せ．
出典：名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
(1)は2回の出目 を数え，1回目ではまだ を超えず，2回の和で初めて を超える条件を数える。 と で1回目の制限が変わるので場合分けする。(2)は のため，最初の1回では必ず を超えない。最初の出目を と固定し，残り 回で を初めて超える確率へ帰着する。
解答
(1)
1回目の出目を ，2回目の出目を とする。2回目に初めて自然数 より大きくなる条件は である。全事象は 通りである。
まず の場合を考える。このとき であり，固定した に対して を満たす の個数は 個である。したがって有利な組の数は である。よって である。
次に の場合を考える。このとき1回目の出目は必ず 以下なので，条件は単に である。2個のさいころの和が になる組を数えると 通りである。したがって である。 では2回の出目の和は最大でも12なので，2回目に初めて を超えることはない。よって である。以上をまとめると
(2)
とする。1回目の出目を とすれば， なので，1回目の総和 はまだ を超えない。したがって， 回目に初めて を超えるには，残りの 回で初めて を超えればよい。
各 は確率 で出るから である。