名古屋大学 1993年度
理系数学 第2問

解答

$A=(-2,0,1),B=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,-1)$ とおく。直線 $AB$ の方向ベクトルは $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=(r\cos \theta +2,r\sin \theta ,-2)$ である。

球面 $x^2+y^2+z^2=1$ の中心は原点で，半径は1である。したがって直線 $AB$ が球面に接することは，原点から直線 $AB$ までの距離が1であることと同じである。

直線上の点を $A+\lambda \mathbf{d}$ と表す。原点からこの直線までの距離の平方は $|A{|}^2-\frac{(A\cdot \mathbf{d}{)}^2}{|\mathbf{d}{|}^2}$ である。ここで $|A{|}^2=5,$ $A\cdot \mathbf{d}=(-2)(r\cos \theta +2)+1\cdot (-2)=-2r\cos \theta -6,$

である。距離の平方が1であるから $5-\frac{(-2r\cos \theta -6{)}^2}{r^2+4r\cos \theta +8}=1$ である。分母は方向ベクトルの長さの2乗なので正であり，整理して $(r\cos \theta +3{)}^2=r^2+4r\cos \theta +8$ を得る。さらに整理すると $r^2{\sin }^2\theta -2r\cos \theta -1=0$ となる。 $\sin \theta \ne 0$ のとき，これを $r$ について解くと $r=\frac{\cos \theta \pm 1}{{\sin }^2\theta }$ である。$r>0$ だから選べるのは $r=\frac{1+\cos \theta }{{\sin }^2\theta }$ であり，$\frac{1+\cos \theta }{{\sin }^2\theta }=\frac{1}{1-\cos \theta }$ である。 $\sin \theta =0$ の場合も確認する。$\cos \theta =-1$ のとき，上の方程式は $2r-1=0$ となり，$r=1/2$ である。これは $1/(1-\cos \theta )=1/2$ と一致する。一方，$\cos \theta =1$ のときは $-2r-1=0$ となり，正の $r$ は存在しない。

したがって $\boxed{r=\frac{1}{1-\cos \theta }}$ ただし $\cos \theta \ne 1$ であり，$\cos \theta =1$ のとき条件を満たす正の $r$ は存在しない。