名古屋大学 1993年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$0<a<1$ なので $c=a^{1/n}$ とおくと $0<c<1$ である。また $x^{n+1}-ax=x(x^n-a)$ であり，$0<x<c$ では $x^n<a$，$c<x<1$ では $x^n>a$ である。したがって $S_n(a)={\int }_0^c(ax-x^{n+1})dx+{\int }_c^1(x^{n+1}-ax)dx$ である。

この式を $a$ で微分する。境界 $x=c$ では $x^{n+1}-ax=0$ なので，境界の移動による項は出ない。よって $S_n^{\prime }(a)={\int }_0^{c}xdx-{\int }_c^{1}xdx$ である。計算すると $S_n^{\prime }(a)=\frac{c^2}{2}-\frac{1-c^2}{2}=c^2-\frac{1}{2}$ となる。$c=a^{1/n}$ は $a$ とともに増加するから，$S_n^{\prime }(a)$ は $c^2<1/2$ で負，$c^2>1/2$ で正である。したがって最小となるのは $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

よって $a_n=c^n={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n=2^{-n/2}$ である。

(2)

$c=1/\sqrt{2}$，$a_n=c^n$ として最小値を計算する。上の分割式から $S_n(a_n)={\int }_0^c(c^{n}x-x^{n+1})dx+{\int }_c^1(x^{n+1}-c^{n}x)dx$ である。積分すると

である。ここで $c^2=1/2$ なので，第1項と最後の項は打ち消し合い，$S_n(a_n)=\frac{1-2c^{n+2}}{n+2}$ となる。さらに $c^{n+2}=c^n{c}^2=2^{-n/2}/2$ だから $S_n(a_n)=\frac{1-2^{-n/2}}{n+2}$ である。したがって $n{S}_n(a_n)=\frac{n}{n+2}(1-2^{-n/2})$ であり，${\lim }_{n\to \infty }n{S}_n(a_n)=1$ である。

別解。$a=c^n$ として，はじめから $S_n$ を $c$ の関数と見ることもできる。上と同じ計算で $S_n=\frac{1-2c^{n+2}}{n+2}+c^n\left(c^2-\frac{1}{2}\right)$ である。これを $c$ で微分すると $\frac{d{S}_n}{dc}=n{c}^{n-1}\left(c^2-\frac{1}{2}\right)$ となる。$0<c<1$ なので，やはり $c=1/\sqrt{2}$ で最小となり，同じ $a_n$ と極限が得られる。