問題
次の3直線(i)，(ii)，(iii)のすべてに直交する直線が存在するように，を定めよ．
(i) ，
(ii) ，
(iii)
出典：名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
直線(i)，(ii)に共通に垂直な直線を先に決める。2直線上の点をパラメータで置き，それらを結ぶベクトルが2つの方向ベクトルのどちらとも内積0になるように連立する。第3直線については，この共通垂線の方向と直交する条件から を求め，さらに共通垂線と交わる条件から を求める。
解答
直線(i)を とおき，直線(ii)を とおく。方向ベクトルは である。 と を結ぶベクトル が ， の両方に垂直である条件は
である。計算すると となるから である。よって直線(i)，(ii)の共通垂線は である。
直線(iii)は と表される。3直線すべてに直交する直線は上の でなければならない。まず，直線(iii)の方向ベクトル が の方向 と垂直であることから である。したがって より を得る。
次に交点条件を用いる。 として とおく。第2成分から であり，第1成分から である。これに を代入すると より である。第3成分は となるから である。
以上より である。