問題
1辺の長さが1の正方形のなかに半径の円板が2辺，に接するように置いてある．この正方形内に別の円板をと重ならないように置く．
(1) の半径の取り得る最大値をを用いて表せ．
(2) とを変化させたときのとの面積の和の最大値を求めよ．
方針
正方形を ， と置き， の中心を とする。半径 の円板 の中心は小さい正方形 の中を動く。この範囲で から最も遠い点は なので， と重ならない最大条件は になる。ただし が正方形に入るための も必要で，この2つの上限の小さい方を取る。(2)は得られた を使って を場合分けで最大化する。
解答
(1)
正方形を とおき，，， とする。円板 は2辺 ， に接するので，その中心は である。正方形内に入るため， である。
半径 の円板 の中心を とすると， が正方形内に入る条件は である。したがって特に が必要である。
この小さい正方形の中で，点 から最も遠い点は である。実際，， なので，， は大きいほど から遠くなる。よって， と が重ならない配置が可能であるための条件は すなわち である。これを について解くと となる。
よって の2条件を同時に満たせばよい。2つの上限が入れ替わるのは すなわち のときである。したがって
である。境目では2つの式は同じ値になる。
(2)
面積の和は である。固定した に対しては， が大きいほど面積の和も大きいので，(1)の を用いればよい。
まず では であり， である。これは が大きいほど大きいので，この範囲での最大は のときで，値は である。
次に では なので である。右辺は について上に開いた2次式だから，この閉区間での最大は端点で生じる。端点 では前の場合と同じ値であり，端点 でも となる。したがって全体の最大は である。整理すると
であるから，求める最大値は である。この最大値は，たとえば
で実現される。