問題
3チーム，，が1日に総あたり3試合を行って2勝したチームを優勝とし，優勝チームが出るまで毎日繰り返す．ただしがに勝つ確率，がに勝つ確率，がに勝つ確率は，いずれも であり，引き分けはないものとする．第日目に優勝チームが決まる確率を求めよ．
出典：名古屋大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
1日に優勝チームが出ないのは，3チームがすべて1勝1敗になる循環の場合だけである。その確率は，指定された向きの循環 と逆向きの循環 の和になる。したがって1日に決着する確率を余事象で求め，最初の 日は未決着， 日目に決着という積で表す。別解として，優勝チームを の3通りに分けて1日で決着する確率を直接数えてもよい。
解答
1日の3試合の結果で優勝チームが出ないのは，どのチームも1勝1敗になる場合だけである。これは
という向きの循環，またはその反対向きの循環である。
前者の確率は であり，後者の確率は である。したがって1日に優勝チームが出ない確率は である。よって1日に優勝チームが出る確率は である。
第 日目に初めて優勝チームが決まるには，最初の 日は優勝チームが出ず，第 日目に優勝チームが出ればよい。各日の試合結果は同じ確率で繰り返されるので である。したがって である。
別解。1日に決着する確率を直接数えることもできる。 が優勝するには， が に勝ち，かつ が に勝てばよい。後者は「 が に勝つ」の反対なので，その確率は である。同様に， が優勝する確率も ， が優勝する確率も である。よって1日に決着する確率は となり，同じ式を得る。