名古屋大学 1992年度
理系数学 第1問

解答

点 $(x,y)$ に対して $u=x+y,v=x-y$ とおく。行列 $A$ により $(x,y)$ が $(x^{\prime },y^{\prime })$ に移るとすると $x^{\prime }=ax+by,y^{\prime }=bx+ay$ であるから $u^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }=(a+b)(x+y)=(a+b)u,$ $v^{\prime }=x^{\prime }-y^{\prime }=(a-b)(x-y)=(a-b)v$ である。つまり $(u,v)$ で見ると，$A$ は

と同じ働きをする。

まず $b\ne 0$ の場合を考える。このとき $a+b\ne a-b$ である。$X$ を同じ $(u,v)$ の座標で表した行列を

とおく。$Y^2=\left(\begin{array}{cc}a+b& 0\\ 0& a-b\end{array}\right)$ だから

より $n(m+s)=0,r(m+s)=0$ が成り立つ。

もし $m+s=0$ ならば $s=-m$ なので，$Y^2$ の2つの対角成分は $m^2+nr,rn+s^2=rn+m^2$ となって等しい。これは $a+b\ne a-b$ に反する。したがって $m+s\ne 0$ であり，$n=0,r=0$ でなければならない。よって $a+b=m^2\geqq 0,a-b=s^2\geqq 0$ が必要である。すなわち $a\geqq |b|$ が必要である。

逆に $a\geqq |b|$ ならば $a+b\geqq 0$，$a-b\geqq 0$ である。$m=\sqrt{a+b}$，$s=\sqrt{a-b}$ とおき

とすれば，直接計算により

となる。したがって $b\ne 0$ では $a\geqq |b|$ が必要十分である。

次に $b=0$ の場合を考える。このとき $A=aE$ である。$a\geqq 0$ ならば $X=\sqrt{a}E$ でよい。$a<0$ のときは $c=\sqrt{-a}$ とおけば

について

である。よって $b=0$ ではすべての実数 $a$ が可能である。

以上より，求める範囲は $\boxed{a\geqq |b|\text{ の領域と，直線 }b=0\text{ 全体の和}}$ である。図示すると，2直線 $a=b$，$a=-b$ にはさまれる右向きの閉じた領域に，$a$ 軸の負の部分を付け加えたものになる。