名古屋大学 1992年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の図形

S = {(u, (2 sin u - 1) v) ∣ 0 ≦ u ≦ \frac{π}{2}, 0 ≦ v ≦ u}

の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

集合の第1座標はそのまま $u$ なので， $u$ を固定すると縦方向の線分が1本できる。端点は $0$ と $(2 sin u - 1) u$ であり，縦の長さは $u ∣2 sin u - 1∣$ になる。符号が $u = \frac{π}{6}$ で変わるため，そこで積分を分ける。最後は $\int u sin u d u$ を部分積分で丁寧に計算し，正負の取り違えを防ぐ。

解答

$u$ を1つ固定する。条件 $0 ≦ v ≦ u$ のもとで，第2座標は $y = (2 sin u - 1) v$ である。したがって，その $u$ に対応する縦方向の線分の端点は $y = 0, y = (2 sin u - 1) u$ であり，長さは $u ∣2 sin u - 1∣$ である。 $0 ≦ u ≦ \frac{π}{2}$ において $2 sin u - 1 = 0$ となるのは $u = \frac{π}{6}$ である。よって求める面積 $S$ は

S = \int_{0}^{π /6} u (1 - 2 sin u) d u + \int_{π /6}^{π /2} u (2 sin u - 1) d u

である。

まず $\int u sin u d u = - u cos u + sin u$ だから

\int_{0}^{π /6} u (1 - 2 sin u) d u = [\frac{u ^{2}}{2} + 2 u cos u - 2 sin u]_{0}^{π /6} = \frac{π ^{2}}{72} + \frac{π 3}{6} - 1.

また

\int_{π /6}^{π /2} u (2 sin u - 1) d u = [- 2 u cos u + 2 sin u - \frac{u ^{2}}{2}]_{π /6}^{π /2} = 1 - \frac{π ^{2}}{9} + \frac{π 3}{6} .

したがって

S = (\frac{π ^{2}}{72} + \frac{π 3}{6} - 1) + (1 - \frac{π ^{2}}{9} + \frac{π 3}{6}) = \frac{π 3}{3} - \frac{7 π ^{2}}{72} = \frac{π ( 24 3 - 7 π )}{72} .

よって求める面積は $\frac{π ( 24 3 - 7 π )}{72}$ である。

名古屋大学 1992年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

名古屋大学 1992年度
理系数学第3問