名古屋大学 1992年度理系数学第2問解答・解説

問題

行列 $X = (t - 1 1 t)$ （ $t$ は実数）による $x y$ 平面上の1次変換を考える．中心 $(0, a)$ ，半径1の円をこの変換で移した図形を $C$ とする．ただし $a > 1$ とする．

(1) $C$ が $x$ 軸と交わるような $t$ の範囲を $a$ を用いて表せ．

(2) $C$ が $x$ 軸， $y$ 軸のいずれとも接するような $a$ と $t$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 1992年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

行列が任意の長さを $t^{2} + 1$ 倍することを，差ベクトルの長さの計算で示す。中心 $(0, a)$ は $(a, t a)$ に移り，半径は $t^{2} + 1$ になる。(1)は中心から $x$ 軸までの距離が半径以下である条件，(2)は $x$ 軸と $y$ 軸への距離がともに半径に等しい条件として立てる。 $a > 1$ なので不等式の整理で $a^{2} - 1 > 0$ を使える。

解答

(1)

点の差を表すベクトル $(X, Y)$ は，変換後に $(X, Y) \mapsto (tX + Y, - X + t Y)$ となる。この長さの2乗は $(tX + Y)^{2} + (- X + t Y)^{2} = (t^{2} + 1) (X^{2} + Y^{2})$ である。したがってこの変換は長さを $t^{2} + 1$ 倍する。

中心 $(0, a)$ は $(0, a) \mapsto (a, t a)$ に移るので， $C$ は中心 $(a, t a)$ ，半径 $t^{2} + 1$ の円である。 $C$ が $x$ 軸と交わるための条件は，中心から $x$ 軸までの距離が半径以下であることだから $∣ t a ∣ ≦ t^{2} + 1$ である。両辺は0以上なので2乗して $a^{2} t^{2} ≦ t^{2} + 1$ すなわち $(a^{2} - 1) t^{2} ≦ 1$ となる。 $a > 1$ より $a^{2} - 1 > 0$ だから $- \frac{1}{a ^{2} - 1} ≦ t ≦ \frac{1}{a ^{2} - 1}$ である。

(2)

$y$ 軸に接する条件は，中心から $y$ 軸までの距離が半径に等しいことなので $a = t^{2} + 1$ である。また $x$ 軸に接する条件は $∣ t ∣ a = t^{2} + 1$ である。2式を比べると $∣ t ∣ a = a$ であり， $a > 0$ より $∣ t ∣ = 1$ となる。これを $a = t^{2} + 1$ に代入して $a = 2$ を得る。よって $(a, t) = (2, 1), (2, - 1)$ である。

名古屋大学 1992年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1992年度
理系数学第2問